x^n

[Regor]

De eerste formule op de foto is x^n als functie van combinaties van (x-1)
Is de tweede formule van x^n als functie van combinaties van (x) correct ?

[wnvl1]

Is het zeker dat die bovenste formule juist is? Hoe zijn ze daar toe gekomen?

[Regor]

Is in 2023 door Stack Exchange als correct bevonden

[wnvl1]

Een link naar Stack Exchange zou handig zijn.

[Regor]

Xilvo heeft de formule in deze vorm in 2023 bevestigd.

[Regor]

Als U aanneemt dat de eerste formule juist is, is de tweede formule dan ook juist ?

[wnvl1]

Xilvo zal de formule wel opnieuw bevestigen dan, maar ik geraak er niet aan uit.

Ik vermoed dat je iets genre \(x^n = ((x-1)+1)^n\) hebt herschreven met het binomium van Newton.

[Regor]

Volgens de afdeling Algebra van de KU Leuven is de tweede formule correct.
Met dank voor de reacties.
De topic mag wat mij betreft gesloten worden.

[wnvl1]

Volgens mij zijn er in die laatste formule echt wel letters door elkaar gehaald. De x bovenaan in de binomiaal coëfficiënt moet een n zijn en de j achteraan moet een x zijn. Dan zou het al beter kunnen kloppen.

[Xilvo]

Volgens mij zijn er in die laatste formule echt wel letters door elkaar gehaald. De x bovenaan in de binomiaal coëfficiënt moet een n zijn en de j achteraan moet een x zijn. Dan zou het al beter kunnen kloppen.

Mee eens dat de formule niet klopt. Maar als de laatste j een x moet zijn, dan moet alles ervoor 1 worden

[wnvl1]

Hiervan zou je kunnen vertrekken.

\[
((x-1) + 1)^n = \sum_{i=0}^{n} x^i \sum_{k=0}^{n-i} \binom{n}{k} \binom{n-k}{n-i-k} (-1)^{n-i-k}.
\]

Je kan de indices nu herdefiniëren om tot andere uitdrukkingen te komen.

[Xilvo]

Hiervan zou je kunnen vertrekken.

\[
((x-1) + 1)^n = \sum_{i=0}^{n} x^i \sum_{k=0}^{n-i} \binom{n}{k} \binom{n-k}{n-i-k} (-1)^{n-i-k}.
\]

Je kan de indices nu herdefiniëren om tot andere uitdrukkingen te komen.

Ik heb de formule niet gecontroleerd. Maar bedoel je echt ((x-1)+1), waar je ook x kunt schrijven? En is het niet vreemd om een uitdrukking voor xⁿ te schrijven waar xⁿ zelf in voor komt?

[wnvl1]

Dat is inderdaad niet nuttig.

[Regor]

Xilvo, als U weet / denkt dat de tweede formule niet correct is...... waar zit dan de fout ?

[wnvl1]

Als ik een test doe voor n=1 en n=2 lijkt die tweede vergelijking van Regor toch te kloppen.