Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[HansH]

Wat volgens mij Nortons dome aantoont is dat het gebruikelijke idee van causaliteit in de klassieke mechanica tekortschiet: je hebt er blijkbaar meer structuur voor nodig, zoals Lipschitz continuïteit.

blijkbaar heb je alleen in de oorsprong (r=0) 2 oplossingen voor de differentiaalvergelijking en voor alle punten daarbuiten maar eentje. en het verschil tussen die oplossingen is dat de 2e afgeleide naar de tijd van de versnelling 0 is in het ene geval en 1/6 in het andere geval. blijft voor mij de vraag wat voor natuurkundig effect ik me moet voorstellen bij de 2e afgeleide van de versnelling. Blijkbaar is er volgens de wiskunde geen oorzaak aan te geven wat die overgang van 0 naar 1/6 in gang zet. Dus daarom blijf ik met het gevoel zitten dat er nog iets mist.

[wnvl1]

punt is wel dat de gecorrigeerde dome alleen te maken is tot een maximale grootte van het balletje. de lijntje hieronder mogen elkaar niet kruisen en dat gebeurt wel boven een bepaalde diameter van het balletje.

De baan van het massacentrum van het balletje is niet dezelfde als de curven van de dome. Maar je kan zo aanvoelen dat de discontinuitiet van de afgeleiden zich overzet van de curve van de dome op de curve van het balletje. Het is een kwestie van de differentiaalvergelijking opstellen en de Lipschitzdiscontinuïteit demonstreren met een voorbeeld.

[wnvl1]

Het probleem zal zich waarschijnlijk ook voordoen in relativistische veldentheorie, maar daar heb ik nog geen expliciet voorbeeld van gezien.

Het verhaal zal dan wel anders zijn. Je zit dan met een partiële differentiaalvergelijking. De uniciteit gaat dan gekoppeld zijn aan de randvoorwaarden. Ik vroeg het eens aan chatgpt specifiek voor de Maxwell vergelijkingen als voorbeeld. Ze antwoordde:

De uniciteit van oplossingen van de **Maxwell-vergelijkingen** wordt bepaald door de aard van de vergelijkingen en de randvoorwaarden. De Maxwell-vergelijkingen beschrijven het gedrag van elektrische en magnetische velden en worden vaak aangevuld met de wet van behoud van lading en materiaaleigenschappen zoals de elektrische permittiviteit \(\varepsilon\) en de magnetische permeabiliteit \(\mu\).

### De Maxwell-vergelijkingen in differentiaalvorm
De Maxwell-vergelijkingen zijn:

1. \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\) (Gauss' wet voor elektriciteit)
2. \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) (Gauss' wet voor magnetisme)
3. \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) (Faraday's inductiewet)
4. \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\) (Ampère-Maxwell-wet)

---

### Voorwaarden voor uniciteit
Om een unieke oplossing te garanderen voor de Maxwell-vergelijkingen, moeten de volgende aspecten worden overwogen:

#### 1. **Randvoorwaarden**
Randvoorwaarden specificeren het gedrag van \(\mathbf{E}\) en \(\mathbf{B}\) op de grenzen van het domein. Typische randvoorwaarden zijn:
- **Dirichlet-randvoorwaarden**: De waarde van \(\mathbf{E}\) en/of \(\mathbf{B}\) wordt opgelegd op de rand.
- **Neumann-randvoorwaarden**: De normale component van \(\mathbf{E}\) of \(\mathbf{B}\) wordt gespecificeerd.
- **Impedantierandvoorwaarden**: Relateren de elektrische en magnetische velden op de grens (bijvoorbeeld voor straling).

#### 2. **Initiële voorwaarden**
Voor tijdsafhankelijke Maxwell-vergelijkingen moeten initiële toestanden worden gespecificeerd:
- De elektrische veldsterkte \(\mathbf{E}(\mathbf{r}, 0)\).
- De magnetische veldsterkte \(\mathbf{B}(\mathbf{r}, 0)\).

#### 3. **Lading- en stroomverdeling**
De ladingendichtheid \(\rho(\mathbf{r}, t)\) en de stroomdichtheid \(\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)\) moeten consistent zijn met de wet van behoud van lading:
\[
\nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
\]
Als deze consistentie ontbreekt, kunnen de Maxwell-vergelijkingen geen oplossing hebben.

---

### Wiskundige Stellingen
Voor lineaire systemen zoals de Maxwell-vergelijkingen (met vaste materiaaleigenschappen) zijn er diverse methoden om uniciteit te bewijzen:
- **Energieargumenten**: De elektromagnetische energie in een gesloten systeem neemt op een fysisch consistente manier af door dissipatie of straling. Dit helpt bij het bewijzen van uniciteit.
- **Het principe van superpositie**: Omdat de Maxwell-vergelijkingen lineair zijn, impliceert dit dat elke combinatie van oplossingen ook een oplossing is, maar dit kan met correcte randvoorwaarden worden beperkt tot één oplossing.

#### Stelling van Uniciteit
Voor tijdsafhankelijke Maxwell-vergelijkingen kan men uniciteit bewijzen door te laten zien dat eventuele twee oplossingen \((\mathbf{E}_1, \mathbf{B}_1)\) en \((\mathbf{E}_2, \mathbf{B}_2)\) hetzelfde zijn als het verschil \((\mathbf{E}_1 - \mathbf{E}_2, \mathbf{B}_1 - \mathbf{B}_2)\) voldoet aan homogene Maxwell-vergelijkingen en randvoorwaarden, wat alleen kan als het verschil nul is.

---

### Samenvatting
De oplossingen van de Maxwell-vergelijkingen zijn uniek als:
1. De lading- en stroomverdeling \((\rho, \mathbf{J})\) consistent zijn met de wet van behoud van lading.
2. De randvoorwaarden fysisch en wiskundig correct zijn (bijv. Dirichlet, Neumann of impedantierandvoorwaarden).
3. De initiële voorwaarden specifiek en volledig zijn.
4. De materiaaleigenschappen \(\varepsilon\), \(\mu\), en \(\sigma\) (conductiviteit) goed zijn gedefinieerd.

Als deze voorwaarden zijn voldaan, garandeert de lineariteit en het fysisch consistente karakter van de Maxwell-vergelijkingen een unieke oplossing.

[HansH]

De baan van het massacentrum van het balletje is niet dezelfde als de curven van de dome.

dat is ook niet wat ik beweer. wat ik zeg is als je de op de diameter van het balletje aangepaste vorm van de dome zodang maakt dat het massacentrum de curve van de originele dome (met puntmassa) volgt dat er dan voor beide er dezelfde differentiaalvergelijking uitkomt. (even kinetische energie tgv rotatie verwaarloosd)

[wnvl1]

Dat klopt. Ik wilde ook niet beweren dat je iets anders gezegd had, zo was het niet bedoeld.

[HansH]

ik weet niet of eea was overgekomen, maar ik herhaal het nog even aan de hand van een tijdstip in het filmpje:

Hier wordt geconcludeerd: there is no actual moment we can pinpoint. Dat concludeert ze omdat op t=T in beide gevallen de versnelling 0 is.

op het moment t=T gelden beide differentiaalvergelijkingen en op dat moment geldt dat voor de oplossing van beide differentiaalvergelijkingen a(t) gelijk is aan 0. Daarom trekt ze de conclusie dat er geen aanwijsbare oorzaak is voor de start van het rollen.
Maar als je nog 2 x differentieert dan zie je dat de 2e afgeleide van a(t) in het eerstegeval 0 is en in het 2e geval 1/6. Dus de oorzaak is dat de afgeleide op het moment t=T spontaan ineens verandert van 0 naar 1/6. Dus mijn vraag blijft waardoor dat wordt veroorzaakt. want dat bepaalt immers het moment van start rollen. en als de 2e afgeleide van de versnelling van 0 naar 1/6 gaat dan is de versnelling zelf nog steeds 0, dus klopt.

[HansH]

Zelf denk ik dat het wiskundig zo werkt dat de wiskunde alle mogelijkheden geeft, dus tijdstip T kan van alles zijn. maar de wiskunde geeft geen verklaring van de oorzaak van de overgang van de ene differentiaalvergelijking naar de andere. maar natuurkundig moet er wel een oorzaak zijn. maar omdat die oorzaak feitelijk niets is (geen extra energie, impuls of wat dan ook) is het hooguit een bitje informatie wat omklapt. maar blijft de vraag waarom dat bitje dan omklapt.

[Professor Puntje]

Er is maar één differentiaalvergelijking, maar er zijn meerdere oplossingen. Waarom zou het stil op de top blijven liggen geen oorzaak vereisen terwijl de puntmassa nog oneindig veel andere opties heeft? Natuurwetten bestaan niet uit oorzaak en gevolg reeksen maar uit relaties tussen grootheden. Zoek maar eens wat natuurwetten op, je zult zelden of nooit oorzaken en gevolgen vermeld zien. Het simplistische denken in termen van oorzaken en gevolgen als verklaring voor natuurlijke verschijnselen is lang geleden door Russell al aan de kaak gesteld.

[HansH]

Er is maar één differentiaalvergelijking, maar er zijn meerdere oplossingen.

ik bedoel de oplossingen inderdaad.

[HansH]

Natuurwetten bestaan niet uit oorzaak en gevolg reeksen maar uit relaties tussen grootheden.

Daarom ben ik op zoek naar waar de 2e afgeleide van de versnelling een relatie mee heeft. Immers die verandert om een compleet onverklaarbare reden ineens op basis van de achterliggende wiskunde waardoor het balletje gaat rollen.

[HansH]

Er is maar één differentiaalvergelijking, maar er zijn meerdere oplossingen. Waarom zou het stil op de top blijven liggen geen oorzaak vereisen terwijl de puntmassa nog oneindig veel andere opties heeft?

Het stil op de top blijven liggen is een toestand. alleen verandering naar een andere toestand vereist een oorzaak. bv als ik een steen in het water gooi dan krijg je als gevolg daarvan rimpelingen. die beginnen als gevolg van het feit dat de steen het water raakt.

Voor de dome begint het rollen met het ene bitje informatie wat maakt dat de 2 afgeleide van de versnelling van 0 naar 1/6 gaat. Maar het gaat er bij mij niet in dat het omslag moment van dat bitje dan puur toeval zou zijn. Maar we dreigen nu in herhaling te vervallen dus ik wacht even met reageren tot er een serieus antwoord komt op die vraag

[Xilvo]

Er is maar één differentiaalvergelijking, maar er zijn meerdere oplossingen.

Eentje met een vierde afgeleide die nul is, eentje met een vierde afgeleide ongelijk nul.

Het deeltje ondervindt niets van die vierde afgeleid. Maar als die niet nul is, betekent het dat de derde afgeleide van waarde verandert en even later ook niet nul is. Idem, op zijn beurt, voor de tweede afgeleide. Dan gaat het deeltje bewegen.
Dat gebeurt niet als de vierde afgeleide, en alle hogere afgeleiden, nul zijn.

Er zijn twee oplossingen maar er is geen reden om aan te nemen dat de ene zomaar in de andere overgaat.

[Professor Puntje]

Natuurwetten bestaan niet uit oorzaak en gevolg reeksen maar uit relaties tussen grootheden.

Daarom ben ik op zoek naar waar de 2e afgeleide van de versnelling een relatie mee heeft. Immers die verandert om een compleet onverklaarbare reden ineens op basis van de achterliggende wiskunde waardoor het balletje gaat rollen.

Differentieer F = m.a twee keer naar de tijd, dan heb je je gezochte relatie. Wil je iets anders, dan zul je een alternatief voor de klassieke mechanica moeten gebruiken. Wat wel of niet verklaarbaar is hangt mede af van de wiskunde die je bereid bent te bestuderen. Daar helpen geen duizend A4'tjes met de essentie aan.

[HansH]

Volgens mij concludeert Xilvo precies wat ik ook concludeer.
wat prof.p zegt: 'Differentieer F = m.a twee keer naar de tijd, dan heb je je gezochte relatie.' is precies dat, namelijk 0 voor t<=T en 1/6 voor t>=T. Ik wil dis niks anders want dat is precies wat het is, wat ik heb uitgerekend en ook nog eens gesimuleerd. Ik wil alleen net zoals xilvo denk ik niet geloven dat er geen reden (oorzaak) is om over te gaan van 0 naar 1/6.
Ik weet niet of prof.p en link heeft naar de wiskunde die die oorzaak verklaart, maar wat ik begrepen heb is er volgens de wiskunde geen oorzaak, dus ook geen link daar naartoe.

[Professor Puntje]

Er is maar één differentiaalvergelijking, maar er zijn meerdere oplossingen. Waarom zou het stil op de top blijven liggen geen oorzaak vereisen terwijl de puntmassa nog oneindig veel andere opties heeft?

Het stil op de top blijven liggen is een toestand. alleen verandering naar een andere toestand vereist een oorzaak. bv als ik een steen in het water gooi dan krijg je als gevolg daarvan rimpelingen. die beginnen als gevolg van het feit dat de steen het water raakt.

Voor de dome begint het rollen met het ene bitje informatie wat maakt dat de 2 afgeleide van de versnelling van 0 naar 1/6 gaat. Maar het gaat er bij mij niet in dat het omslag moment van dat bitje dan puur toeval zou zijn. Maar we dreigen nu in herhaling te vervallen dus ik wacht even met reageren tot er een serieus antwoord komt op die vraag

Ik begrijp dat je het exacte moment van verval van radioactieve atomen ook ziet als iets dat net zoals al het andere aan specifieke oorzaken moet worden toegeschreven...? Zo niet - dan heb je daar een voorbeeld van iets dat zonder directe oorzaak op zeker moment gebeurt.