x^n

[Xilvo]

Als ik een test doe voor n=1 en n=2 lijkt die tweede vergelijking van Regor toch te kloppen.

Misschien heb ik een fout gemaakt bij het programmeren. Ik ga er nog even naar kijken.

[wnvl1]

Ik heb met pen en papier getest voor 1 en 2, verder niet.

[Xilvo]

Ik had inderdaad een fout gemaakt.
Voor alle combinaties van n=1..7 en x=1..7 geeft de formule het correcte antwoord.

[Xilvo]

Xilvo, als U weet / denkt dat de tweede formule niet correct is...... waar zit dan de fout ?

Het is makkelijk te zien dat een formule niet klopt door 'm voor een bekend geval uit te rekenen. Dat wil niet zeggen dat je dan meteen ook weet waarom die fout is.
Maar in dit geval lag de fout aan mijn kant. De formule geeft voor een aantal gevallen het correcte resultaat, daarom denk ik dat die goed is.

[Regor]

Aan allen, bedankt.eindelijk eens een formule voor x^n als functie van combinaties van (x) in plaats van als functie van faculteiten (Stirling)
De coeficienten, afhankelijk van de macht "n" zijn niet gelijk aan de Stirling numbers van eerste noch van de tweede orde.
Raar, want voor x^n als functie van combinaties van (x-1) ... eerste formule, zijn de coeficienten blijkbaar wel die van de Stirling numbers van tweede orde... zal ik toch nog effen checken.

x^n als functie van combinaties van (x-2) of (x-3) enz.. zijn ook "maakbaar" ... maar lijken mij niet nuttig / nog onnuttiger.
Wat mij betreft mag deze topic op slot.

[RedCat]

Via de Stirling numbers of the second kind (https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_ ... Definition):

\(\displaystyle x^n = \sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}(x)_i\)

gebruik \(\binom{x}{i}=\frac{(x)_i}{i!}\):

\(\displaystyle x^n = \sum_{i=0}^n\binom{x}{i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\)

en substitueer hierin (zie opnieuw bovenstaande wiki-pagina):

\(\displaystyle \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} = \frac{1}{i!}\sum_{j=0}^i (-1)^{(i-j)}\binom{i}{j}j^n\)

wat de gevraagde formule oplevert:

\(\displaystyle x^n = \sum_{i=0}^n\binom{x}{i}\sum_{j=0}^i (-1)^{(i-j)}\binom{i}{j}j^n\)

(de sommaties mogen ook bij i=1 en j=1 starten omdat j als factor voorkomt)

[RedCat]

Aan allen, bedankt.eindelijk eens een formule voor x^n als functie van combinaties van (x) in plaats van als functie van faculteiten (Stirling)
De coeficienten, afhankelijk van de macht "n" zijn niet gelijk aan de Stirling numbers van eerste noch van de tweede orde.
Raar, want voor x^n als functie van combinaties van (x-1) ... eerste formule, zijn de coeficienten blijkbaar wel die van de Stirling numbers van tweede orde... zal ik toch nog effen checken.

Gekruiste post...
In de tweede formule zitten dus ook Stirling getallen, maar die zijn daar herschreven.

[wnvl1]

Mooi, niet evident om zomaar in een, twee, drie zelf te vinden.