Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[HansH]

Het is me nog niet duidelijk hoe je klassieke mechanica met bitje eruit ziet.

het model volgt de oplossing van de differentiaalvergelijking

namen 40 keer bekeken

je kunt dat simuleren door het de hoogste ageleide te beginnen en daar steeds een integrator achter te zetten. de hoogste afgeleide is de 2e afgeleide van de versnelling en die is 0 of 1/6. dus je kunt de beweging starten door die afgeleide te veranderen van 0 naar 1/6 en voorafgaand daaraan alle beginvoorwaardes op 0 te zetten in de integratoren. het bitje is dus de 2e afgeleid van d versnelling die dus 2 waardes kan hebben: 0 of 1/6 0 is in rust op de top en 1/6 is het begin van bewegen

[Professor Puntje]

Ik heb zelf een modulaire synthesizer met integrators, en hoe je differentiaalvergelijkingen analoog programmeert is mij ook bekend. Dat is het probleem niet.

De tweede afgeleide van de versnelling is 0 voor t < T en 1/6 voor t \( \geq \) T. Dus inderdaad verandert de tweede afgeleide door het in beweging komen van de puntmassa. Je kunt vervolgens een bitje informatie aanwezig veronderstellen dat bepaalt wanneer de puntmassa gaat glijden, maar dan heb je weer de vraag waar dat bitje zijn informatie over de aanvang van het bewegen vandaan haalt. Dat kan niet zijn van de tweede afgeleide van de versnelling want die verandert door het in beweging komen zelf ook op tijdstip T.

[wnvl1]

Ik veronderstel dat bovenstaande uitleg van Hansh voor de meeste topic lezers wel duidelijk zal zijn. Als je nu daarnaast er nog eens vanuit gaat dat dit soort van discontinuïteiten in hogere orde afgeleides niet pas in een Newtoniaanse theorie (misschien hoogstens bij de opstart van het universum), dan lijkt het probleem mij opgelost.
Ik verwijs in deze context ook naar de sectie 'Indeterminate derivatives' op de wiki pagina van het Norton's dome probleem.

https://en.wikipedia.org/wiki/Norton%27s_dome

Ik kan mij wel vinden in wat er in die sectie geschreven staat.
Ik stel mij de vraag wat kan je nog meer verwachten van een antwoord op het probleem. Je kan bij alles eeuwig vragen blijven stellen.

[HansH]

Als je nu daarnaast er nog eens vanuit gaat dat dit soort van discontinuïteiten in hogere orde afgeleides niet pas in een Newtoniaanse theorie (misschien hoogstens bij de opstart van het universum), dan lijkt het probleem mij opgelost.

het is voor mij niet helemaal duidelijk wat je hier probeert te vertellen. wil je zeggen dat een stap in de hogere afgeleide niet kan?

[HansH]

Je kunt vervolgens een bitje informatie aanwezig veronderstellen dat bepaalt wanneer de puntmassa gaat glijden, maar dan heb je weer de vraag waar dat bitje zijn informatie over de aanvang van het bewegen vandaan haalt. Dat kan niet zijn van de tweede afgeleide van de versnelling want die verandert door het in beweging komen zelf ook op tijdstip T.

nu breng je zelf oorzaak en gevolg in het verhaal en denk je een niet causale situatie te krijgen. Maar kijkend naar de differentiaalvergelijking horen die afgeleides gewoon bij elkaar en is niet de ene het gevolg van de ander. Het bitje is gerelateerd aan de tweede afgeleide van de versnelling. die kan daardoor 2 waardes hebben.

[wnvl1]

het is voor mij niet helemaal duidelijk wat je hier probeert te vertellen. wil je zeggen dat een stap in de hogere afgeleide niet kan?

inderdaad

[Professor Puntje]

Je kunt vervolgens een bitje informatie aanwezig veronderstellen dat bepaalt wanneer de puntmassa gaat glijden, maar dan heb je weer de vraag waar dat bitje zijn informatie over de aanvang van het bewegen vandaan haalt. Dat kan niet zijn van de tweede afgeleide van de versnelling want die verandert door het in beweging komen zelf ook op tijdstip T.

nu breng je zelf oorzaak en gevolg in het verhaal en denk je een niet causale situatie te krijgen. Maar kijkend naar de differentiaalvergelijking horen die afgeleides gewoon bij elkaar en is niet de ene het gevolg van de ander. Het bitje is gerelateerd aan de tweede afgeleide van de versnelling. die kan daardoor 2 waardes hebben.

Ik breng die oorzaken en gevolgen erin om je verhaal te begrijpen, maar dat lukt nog niet best. (Ik zou ze zelf liever weglaten.) Het simpelweg toevoegen van een bitje dat de tweede afgeleide signaleert is mogelijk, maar verklaart niets. Er blijven gewoon oneindig veel oplossingen ook als je bitje de aanvang van de beweging aan de hand van de tweede afgeleide signaleert. Je zult toch echt iets meer aan de klassieke mechanica moeten toevoegen om tot een unieke oplossing te komen. Of als dat laatste niet de bedoeling is begrijp ik er nog minder van...

[HansH]

Ik heb nog even verder gesimuleerd met LTspice. nu met de differentiaalvergelijking zelf gebruikt.
blok X7 beschrijft de dome: verband tussen r en versnelling a1. a1 wordt dan gecopieerd naar a en dan vervolgens geintegreerd om snelheid v te krijgen en nogmaals geintegreerd on afstand r te krijgen en dan is het loopje rond. als je dat gaat simuleren blijft alles op 0 staan dus dat is keurig de ene oplossing van de differentiaalvergelijking r=0. in het modelletje zit echter ook nog de optie om de dome te verplaatsen tov het balletje via een x coordinaat rdome. die staat normaal op 0 dus als r=0 dan zit het balletje keurig precies midden op de dome in rust.

maar nu kan ik rdome een kleine tijdelijke verplaatsing geven (een stapje van 1 nm positief en negatief gedurende 1ms op t=10ms) en dan zie je dat het systeem direct begint met het uitvoeren van de andere oplossing waarbij r steeds sneller toeneemt.

dus het klopt allemaal precies met de theorie en je ziet dus dat er ergens een verstoring nodig is om de bal te laten rollen.

[HansH]

het is voor mij niet helemaal duidelijk wat je hier probeert te vertellen. wil je zeggen dat een stap in de hogere afgeleide niet kan?

inderdaad

maar het volgt direct uit de wiskunde want als je overgaat van de r=0 oplossing naar de R(t) oplossing van het bewegende balletje dan gaat de 2e afgeleide van 0 naar 1/6. maar ik heb ook even gesimuleerd met een eindige helling van 0 naar 1/6 in 1 ms. dan krijg je precies hetzelfde resultaat. dus een discontinuiteit in de 2e afgeleide is geen eis.

[wnvl1]

Is het niet zo dat je kan stellen dat een discontinuïteit in een van de hogere order afgeleiden n van een functie f, de Lipschitz continuïteit van een functie f verbreekt? Je zou dan kunnen stellen dat discontinuïteiten in de hogere orde afgeleiden niet fysisch zijn in kader van Newton. De waarde van n doet er niet zo veel toe.

Maar verbeter mij gerust als dat fout is.

[HansH]

geen idee. maar stel even dat ik een massa aan een massaloos draadje hang en dan het draadje doorknip. dat gaat de versnelling instantaan van 0 naar g. dus dan heb je al een discontinuiteit in d versnelling zelf.

[Xilvo]

het is voor mij niet helemaal duidelijk wat je hier probeert te vertellen. wil je zeggen dat een stap in de hogere afgeleide niet kan?

inderdaad

Waarom niet? Stel, de vierde afgeleide van de positie naar de tijd verandert op t=0 van 0 naar een constante waarde. De derde afgeleide is dan (bijvoorbeeld) nul tot t=0 en neemt daarna lineair toe.
De tweede afgeleide, de versnelling, is dan (bijvoorbeeld) weer nul tot t=0 en neemt dan volgens het kwadraat van de tijd, parabolisch, toe.
Wat is daar niet-fysisch aan?

[wnvl1]

Je kan je de vraag stellen: "Wat betekent fysisch?" De theorie van Newton is sowieso imaginair.
Als je het niet-fysisch noemt dan heb je je Newtoniaanse theorie terug deterministisch gemaakt. Ik vind dat daar wat voor te zeggen valt, want positie en impuls kunnen ook geen discontinuïteiten vertonen, dus de hogere orde afgeleiden bij uitbreiding ook niet.
Noem je het wel fysisch, dan is de theorie niet meer deterministisch.

Die disconuïteiten uitsluiten of insluiten, voor praktische berekeningen maakt het niets uit. Ik zou prefereer het niet fysisch te noemen en de theorie deterministisch te houden, maar het is een kwestie van persoonlijke voorkeur, lijkt mij.

[wnvl1]

Waarom niet? Stel, de vierde afgeleide van de positie naar de tijd verandert op t=0 van 0 naar een constante waarde. De derde afgeleide is dan (bijvoorbeeld) nul tot t=0 en neemt daarna lineair toe.
De tweede afgeleide, de versnelling, is dan (bijvoorbeeld) weer nul tot t=0 en neemt dan volgens het kwadraat van de tijd, parabolisch, toe.
Wat is daar niet-fysisch aan?

Het gedachte experiment lijkt logisch. Als je hogere orde afgeleiden vanuit het niets discontinue sprongen laat maken dan kan je beweging in gang zetten. Newton geeft niet aan wat die discontinuiteiten in de hogere orde afgeleiden kan veroorzaken, dus ik ben geneigd ze weg te laten en niet fysisch te noemen. Maar je kan er even goed een andere theorie op na houden.

[Xilvo]

Je kan je de vraag stellen: "Wat betekent fysisch?" De theorie van Newton is sowieso imaginair.
Als je het niet-fysisch noemt dan heb je je Newtoniaanse theorie terug deterministisch gemaakt. Ik vind dat daar wat voor te zeggen valt, want positie en impuls kunnen ook geen discontinuïteiten vertonen, dus de hogere orde afgeleiden bij uitbreiding ook niet.
Noem je het wel fysisch, dan is de theorie niet meer deterministisch.

Die disconuïteiten uitsluiten of insluiten, voor praktische berekeningen maakt het niets uit. Ik zou prefereer het niet fysisch te noemen en de theorie deterministisch te houden, maar het is een kwestie van persoonlijke voorkeur, lijkt mij.

Heb je het nu specifiek over dit Norton-probleem of in z'n algemeenheid?
Een ineens geleidelijk toenemende versnelling (kwadratisch met de tijd, in ieder geval voor een beperkte tijd) lijkt me makkelijk te realiseren en volkomen fysisch mogelijk. En dan heb je een sprong in de vierde afgeleide.