Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[HansH]

Verder kun je Nortons koepeltje vervangen door een buis in de vorm van het koepeltje. Dan heb je de zaak versimpeld door de meerdere opties voor de richtingen van het glijden tot een terug te brengen.

dat kan, je kunt het zelfs terugbrengen tot maar 2 oplossingen door de de vorm te geven van een schuin dak.

[HansH]

zet je de puntmassa op de top van de kegel? Daarbij heb je dan instabiel evenwicht, en dat is iets anders dan bij Nortons koepel en ook allang bekend.

hoezo anders? r(t)=0 is toch een oplossing van de differentiaalvergelijking?

[Professor Puntje]

1. Digitale simulatie is ongeschikt (want te onnauwkeurig) voor dit soort problemen.
2. Nortons koepeltje hoeft niet te worden geschud om de puntmassa in beweging te brengen.

[HansH]

1. Digitale simulatie is ongeschikt (want te onnauwkeurig) voor dit soort problemen.
2. Nortons koepeltje hoeft niet te worden geschud om de puntmassa in beweging te brengen.

1) waarom ?
2)waarom ? we hebben net pagina's aan berichten hierover gehad en geconcludeerd dat het vanuit de wiskunde tot nu toe niet helder is of er een beweging ontstaat op een random moment. Dus waar haal jij dan ineens een andere conclusie vandaan?

[Professor Puntje]

Als Nortons koepel simpelweg een variant van instabiel evenwicht was zou niemand zich er druk om gemaakt hebben. Op de top van een kegel is het raakvlak onbepaald. Zodoende is dan ook de normaalkracht die vanuit de kegel op de puntmassa werkt onbepaald en is er daar geen differentiaalvergelijking op te stellen. (Maar je kunt nog wel vanuit symmetrie redeneren dat de normaalkracht als die wel zou bestaan recht omhoog zou moeten werken.) Nortons koepeltje heeft zulke problemen niet, en dat maakt het juist zo interessant.

[Professor Puntje]

1. Digitale simulatie is ongeschikt (want te onnauwkeurig) voor dit soort problemen.
2. Nortons koepeltje hoeft niet te worden geschud om de puntmassa in beweging te brengen.

1) waarom ?

Heb ik al uitgelegd.

2)waarom ? we hebben net pagina's aan berichten hierover gehad en geconcludeerd dat het vanuit de wiskunde tot nu toe niet helder is of er een beweging ontstaat op een random moment. Dus waar haal jij dan ineens een andere conclusie vandaan?

Ik heb dat niet geconcludeerd! Vanuit de wiskunde is het juist wel helder dat er in het geval van Nortons koepel op een random moment beweging kan ontstaan. Ik hoef daarvoor niet ineens een konijn uit de hoge hoed te halen, lees Nortons artikel maar. Daar staat het keurig uitgelegd.

[HansH]

Heb ik al uitgelegd.

ik vraag het natuurlijk omdat die uitleg onvoldoende is.

[HansH]

Vanuit de wiskunde is het juist wel helder dat er in het geval van Nortons koepel op een random moment beweging kan ontstaan.

volgens mij is dat niet wat uit de wiskunde geconcludeerd wordt. er wordt alleen beschreven dat er 2 oplossingen zijn. maar volgens mij wordt nergens beschreven of of op een willekeurig moment van de ene naar de andere oplossing kan overspringen. Daar ging juist al die discussie over hier, maar blijkbaar heb je dat dan gemist. De overgang werd getriggerd door een verandering in de 2e afgeleide van de versnelling. maar er is niets wat ie 2e afgeleide verandert vanuit de wiskunde. althans dat is niet ter sprake gekomen in het topic tot nu toe. Maar hiermee vallen we in herhaling, dus dan wordt het zinloze discussie in cirkeltjes.

[Professor Puntje]

Er is geen sprake van dat er van de ene naar de andere oplossing wordt overgesprongen. Ook zijn er niet twee maar oneindig veel oplossingen. Als je niet de moeite neemt om je in de zaak te verdiepen moeten we inderdaad steeds weer terug naar af om nieuwe misvattingen recht te zetten. Een vermoeiende aangelegenheid. Lees dat verhaal van Norton nu eens goed, en kijk zo nodig die video nog eens.

Daarna spreken we verder.

[HansH]

het is maar helemaal de vraag of je daarmee Nortons koepel recht doet.

uit de audio/video techniek weten we dat je met discrete signalen zonder informatieverlies de frequentiecomponenten van een analoog signaal kunt beschrijven van frequenties tot aan de helft van de sample frequentie. dus ik zie niet waarom het dan tot onacceptabele verschillen zou moeten komen bij de responsies van een balletje op een norton dome. Zeker in stilstand zijn er helemaal geen frequenties dus dat zou prima te simuleren moeten zijn. Verder zijn het zeer laagfrequente signalen tov de responsie van het balletje. tijdiscrete signalen zijn voldoende als een rechte lijn naar het volgende punt niet systematisch afwijkt van een kromme lijn in het analoge domein.
Ik zou niet weten waarom het dan fout zou gaan in LTspice. die tool bepaalt trouwens zelf de benodigde stapgrootte om voldoende nauwkeurig het signaal te kunnen berekenen. en ik kan zelf een maximale stapgrootte opgeven als ik dat niet vertrouw.

[HansH]

Er is geen sprake van dat er van de ene naar de andere oplossing wordt overgesprongen. Ook zijn er niet twee maar oneindig veel oplossingen. Als je niet de moeite neemt om je in de zaak te verdiepen moeten we inderdaad steeds weer terug naar af om nieuwe misvattingen recht te zetten. Een vermoeiende aangelegenheid. Lees dat verhaal van Norton nu eens goed, en kijk zo nodig die video nog eens.

Daarna spreken we verder.

je doet nu net of je alle kennis in huis hebt en ik dingen mis. Maar als ik je vraag de antwoorden te geven op de essenties dan komt er in mijn ogen weinig zinvols terug. in het bericht van zo 29 dec 2024, 10:20 heb ik nogmaals de moeite genomen om alles heel uitgebreid op een rijtje te zetten. dus als je het daar niet mee eens bent kun je inhoudelijk aangeven waar het niet klopt en vooral waarom. opmerkingen als:
' in feite berekenen zulke programma's differentievergelijkingen (dus met eindige stapjes
Δt) of de integraalvorm daarvan en het is maar helemaal de vraag of je daarmee Nortons koepel recht doet.'
zijn zinloos. je geef een mogelijk probleem aan maar je geeft tegelijkertijd aan dat je totaal niet kunt inschatten

[HansH]

Er is geen sprake van dat er van de ene naar de andere oplossing wordt overgesprongen.

we hebben 2 oplossingen
1) het balletje ligt stil op de top met alle signalen en al hun afgeleiden gelijk aan 0
2) het balletje begint te bewegen gerelateerd aan een verandering van de 2e afgeleide van de versnelling naar een constante waarde.
je springt dus van oplossing 1 naar oplossing 2

[HansH]

omdat er twijfel was aan rekenen met discrete stappen heb ik beide in 1 grafiek gezet. Via Excel voor 1000 samples alle variabelen berekend x en al zijn afgeleiden t/m d2adt2 feitelijk doe je het andersom: je begint met d2adt2 en dan steeds discreet integreren over 1 sample tijd. dan is heel gestructureerd en kan prima met Excel, zie bijlage. je kunt met de sample tijd spelen en dan zien of het berekende nog steeds de echte formule volgt.
plaatje hieronder is met een sampletijd van 10us met 1000 samples.

je ziet dat de berekening met discrete waardes vrijwel precies overeenkomt met de formule voor de dome. Dis is ook waar LTspice op uit komt.

discreet

(258.69 KiB) 3 keer gedownload

[HansH]

en hier hetzelfde voor de kegel met vorm zodang dat je 1m/s^2 versneling krijgt. op t=0.1 s valt de puntmassa van de evenwichtspositie af, maar om dat voor elkaar te rijgen moet de versnelling van 0 naar 1 en op de top is er evenwicht en dus geen versnelling dus ook geen uitwijking dus blijft het op de top staan zolang je niets doet.

discreet_kegel

(147.56 KiB) 2 keer gedownload

[HansH]

het is maar helemaal de vraag of je daarmee Nortons koepel recht doet.

uit de audio/video techniek weten we dat je met discrete signalen zonder informatieverlies de frequentiecomponenten van een analoog signaal kunt beschrijven van frequenties tot aan de helft van de sample frequentie. dus ik zie niet waarom het dan tot onacceptabele verschillen zou moeten komen bij de responsies

hier de simulatie in excel van een differentiaalvergelijking van een cosinus (a(t)=-x(t))

sinus

(235.53 KiB) 3 keer gedownload