Lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde

[aadkr]

[wnvl1]

Wat er gebeurt is gewoon een hernoeming van de constanten.
\(c_1 + c_2\) wordt hernoemd naar \(\overline{c_1}\) en \(j(c_1 - c_2)\) naar \(\overline{c_2}\).

[aadkr]

Geachte wnvl1,
Je bericht is juist.
Ik ben in het bezit van een oud boek.
Repetitiedictaat Differentiaal vergelijkingen
Geschreven door: Ir. W.J. Vollewens c.i.
Delfse uitgeversmaatschappij N.V. Delft 1961
Maar dat betekend dat (C1+C2) een reeel getal is.
Maar dat J.(C1-C2) een imaginair getal is.

[aadkr]

[wnvl1]

Maar dat betekend dat (C1+C2) een reeel getal is.
Maar dat J.(C1-C2) een imaginair getal is.

Nee, in de oplossing in het boek hoeven C1 en C2 niet reëel te zijn, die kunnen op zich al complex zijn. Je kan C1 gerust 4+5j kiezen.

[HansH]

uiteindelijk is het doel om een gedempt 2e orde systeem te beschrijven zoals bv in de elektronica voorkomt of in mechanica van massa veersystemen, schommels etc . dat heeft 2 toegevoegd complexe polen als het een gedempte sinus betreft en anders 2 reele polen als het meer dan kritisch gedempt is . C1+C2 en C1-C2 moeten dan wel reel zijn omdat de sinus en cosinus samen een reel signaal moeten geven met fase verschuiving. De e macht met a levert dan de informatie over de demping, dus met welke tijdconstante de zaak uitdempt

[aadkr]

[ukster]

https://www.varsitytutors.com/hotmath/h ... ex-numbers

[Bart23]

\((\lambda^2+1)^2=0\Leftrightarrow((\lambda-i)(\lambda+i))^2=0\Leftrightarrow(\lambda-i)(\lambda-i)(\lambda+i)(\lambda+i)=0\)

De vierdegraadsvergelijking heeft 4 oplossingen, maar slechts 2 verschillende, die elk 'multipliciteit 2' hebben.

Het worteltekensymbool kan je beter niet gebruiken, anders krijg van die redeneringen die er goed uitzien, maar fout zijn, zoals jouw 'bewijs' dat 1=-1.
Een positief reëel getal heeft 2 reële vierkantswortels, een positieve en een negatieve. De positieve vierkantswortel stellen we voor door een wortelteken √ (en wordt doorgaans 'de' vierkantswortel genoemd, wat verwarrend is), de negatieve vierkantswortel noteren we met -√.
Het probleem met complexe getallen is dat we dat niet meer kunnen doen. Elke complex getal heeft weliswaar 2 vierkantswortels, maar je kan niet spreken van een positieve of negatieve vierkantswortel, simpelweg omdat het begrip positief en negatief geen steek houdt bij complexe getallen (technisch gezegd: de complexe getallen vormen geen geordend veld). Dus als je schrijft "√-1", welke van de twee vierkantswortels bedoel je dan, i of -i? Vandaar de de eigenschap √(AB)=√A√B ook niet goed geformuleerd is: het is niet ondubbelzinnig duidelijk welke van de 2 vierkantswortels er telkens bedoeld wordt.

[aadkr]

ik kan de afleiding niet volgen.

[tempelier]

img20250105_23404291.jpg
ik kan de afleiding niet volgen.

Vermoedelijk hebben ze dat gevonden door cos en cosh als machten van e te schrijven.

Zie hiervoor onder andere: https://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Euler

PS.
Het laatste kan ook gevonden worden via differentiatie maar dat is niet gebruikelijk.

[ukster]

goniometrie 106 keer bekeken

[Professor Puntje]

Dat \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \) ook nog geldt voor imaginaire hoeken \( \alpha \) is niet vanzelfsprekend.

[tempelier]

Dat \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \) ook nog geldt voor imaginaire hoeken \( \alpha \) is niet vanzelfsprekend.

Het begrip hoek wordt dan ook losgelaten.

Wat je stelt is altijd waar in een nieuw gebied, elke stelling en notatie dient eigenlijk te worden onderzocht of hij consistent blijft.
Meestal laat men dit achterwegen, want het kost vanzelfsprekend heel veel tijd.

[aadkr]