Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[HansH]

wat heeft niet-fysisch met deterministisch te maken? voor Newton begint het verhaal toch bij een kracht? en die kracht geeft dan een versnelling F=m.a en vanuit die versnelling integreer je dan naar snelheid en nog een keer integreren naar afstand. dus als je even aanneemt dat kracht discontinue kan zijn (touwtje doorknippen met massa eraan) dan kan alles wat je daaruit via integreren krijgt niet meer discontinue zijn, dus snelheid (impuls), en afstand. maar de andere kant op zie ik niet waarom de afgeleiden van versnelling dan niet discontinue mogen zijn voor een fysisch systeem.

[wnvl1]

Heb je het nu specifiek over dit Norton-probleem of in z'n algemeenheid?
Een ineens geleidelijk toenemende versnelling (kwadratisch met de tijd, in ieder geval voor een beperkte tijd) lijkt me makkelijk te realiseren en volkomen fysisch mogelijk. En dan heb je een sprong in de vierde afgeleid.

Je bedoelt als je een bal op een helling legt, dan heb je een discontinuïteit van de tweede afgeleide. Het moet inderdaad nauwkeuriger gespecificeerd worden. Dat is dan wel gekoppeld aan een discontinuïteit in de kracht die werkt op het voorwerp. F=ma. Dus als F discontinu verandert, verandert a discontinu. Ik moet in mijn redenering ook discontinue wijzigingen van F buiten beschouwing laten.

[wnvl1]

wat heeft niet-fysisch met deterministisch te maken? voor Newton begint het verhaal toch bij een kracht? en die kracht geeft dan een versnelling F=m.a en vanuit die versnelling integreer je dan naar snelheid en nog een keer integreren naar afstand. dus als je even aanneemt dat kracht discontinue kan zijn (touwtje doorknippen met massa eraan) dan kan alles wat je daaruit via integreren krijgt niet meer discontinue zijn, dus snelheid (impuls), en afstand. maar de andere kant op zie ik niet waarom de afgeleiden van versnelling dan niet discontinue mogen zijn voor een fysisch systeem.

Verander het dan in: als F niet discontinu is, dan mogen de hogere orde afgeleides niet discontinu zijn.

[Professor Puntje]

Ik vind Nortons koepeltje niet minder fysisch dan dan bijvoorbeeld een paraboloïde. Beide zijn geïdealiseerde oppervlakken die nooit absoluut exact in materie kunnen worden nagemaakt. Maar dat is voor Nortons koepel niet anders dan voor de paraboloïde. Er is geen andere reden voor de diskwalificatie van Nortons koepel als niet-fysisch dan dat die tot moeilijkheden in de klassieke mechanica leidt. Het is dus zoiets als het beschuldigen van de brenger van het slechte nieuws. Een weinig overtuigend argument. Erken dan gewoon dat Nortons koepel een probleem van de klassieke mechanica aan het licht brengt.

[Professor Puntje]

Nog even over het gebruik van digitale simulaties van differentiaalvergelijkingen: in feite berekenen zulke programma's differentievergelijkingen (dus met eindige stapjes \( \Delta t \)) of de integraalvorm daarvan en het is maar helemaal de vraag of je daarmee Nortons koepel recht doet.

[Xilvo]

Je bedoelt als je een bal op een helling legt, dan heb je een discontinuïteit van de tweede afgeleide. Het moet inderdaad nauwkeuriger gespecificeerd worden. Dat is dan wel gekoppeld aan een discontinuïteit in de kracht die werkt op het voorwerp. F=ma. Dus als F discontinu verandert, verandert a discontinu. Ik moet in mijn redenering ook discontinue wijzigingen van F buiten beschouwing laten.

Ik snap nog steeds niet wat het probleem is met een discontinue kracht.

[wnvl1]

Als je alle discontinuiteiten uit het systeem haalt, is er geen probleem meer met dit soort van problemen. Je hebt dan een universum waarin alles al oneindig lang bestaat en waarin alle afgeleiden geleidelijk evolueren. Dan is het probleem van indeterminisme uit de wereld, lijkt mij (verzin gerust een tegenvoorbeeld). Als je gekke dingen gaat verzinnen met discontinuïteiten dan krijg je dit soort van problemen. Sommige discontinuiteiten veroorzaken indeterminisme. In het verhaal van de dome speelt er ook een discontinue kracht die het balletje op een bepaald moment loslaat.

Je kan natuurlijk proberen om sommige discontinuïteiten toch toe te laten en aan te tonen dat determinisme blijft behouden. Discontinue krachten zullen zeker niet altijd een probleem zijn. Voor praktische problemen is er uiteraard geen enkel probleem met discontinue krachten, ik heb al honderden mechanica oefeningen opgelost met discontinuïteiten.

[HansH]

Verander het dan in: als F niet discontinu is, dan mogen de hogere orde afgeleides niet discontinu zijn.

F kan continue zijn, maar een knik hebben. dan is da/dt discontinue.

[HansH]

Nog even over het gebruik van digitale simulaties van differentiaalvergelijkingen: in feite berekenen zulke programma's differentievergelijkingen (dus met eindige stapjes \( \Delta t \)) of de integraalvorm daarvan en het is maar helemaal de vraag of je daarmee Nortons koepel recht doet.

ik kan met stapjes van bv 100n werken of evt nog korter (kost wat meer simulatietijd) Daarmee kan ik onregelmatigheden in de uitwijking terug brengen tot ordegrootte 10^-18 m maar dan is nog steeds oneindig veel groter dan 0 inderdaad. alleen als je alles echt op 0 zet in de simulator dan blijft het balletje op de top liggen en dan ook nog oneindig lang, dus het spontane moment kun je dan niet simuleren dus moet je een oorzaak aanbrengen in de simulator.

[wnvl1]

Verander het dan in: als F niet discontinu is, dan mogen de hogere orde afgeleides niet discontinu zijn.

F kan continue zijn, maar een knik hebben. dan is da/dt discontinue.

Als F continu is tot orde n. Dan ga je geen discontinuïteiten mogen toelaten in nog hogere orde afgeleides van a. Op die manier ga je het misschien moeten herformuleren. Je gaat moeten uitzoeken waar de problemen met discontinuïteiten juist liggen. Ik denk dat het mogelijk is om nog varianten op het dome probleem te vinden met dicontinuïteiten. Ik kan niet direct een exacte formulering geven waar alle problemen liggen.

[Professor Puntje]

The dome of Figure 1a sits in a downward directed gravitational field, with acceleration due to gravity g. The dome has a radial coordinate r inscribed on its surface and is rotationally symmetric about the origin r=0, which is also the highest point of the dome. The shape of the dome is given by specifying h, how far the dome surface lies below this highest point, as a function of the radial coordinate in the surface, r. For simplicity of the mathematics, we shall set h = (2/3g)r3/2. (Many other profiles, though not all, exhibit analogous acausality.)

Bron: https://sites.pitt.edu/~jdnorton/Goodie ... index.html

[wnvl1]

Heeft Norton eigenlijk iets gepubliceerd in een journal rondom die dome? Ik vind niet direct iets terug. De link op zijn website naar neen mogelijke publicatie is alvast niet up to date.

[HansH]

Het gedachte experiment lijkt logisch. Als je hogere orde afgeleiden vanuit het niets discontinue sprongen laat maken dan kan je beweging in gang zetten. Newton geeft niet aan wat die discontinuiteiten in de hogere orde afgeleiden kan veroorzaken, dus ik ben geneigd ze weg te laten en niet fysisch te noemen. Maar je kan er even goed een andere theorie op na houden.

Nog even verder gekeken naar een simpeler alternatief voor de dome, namelijk een kegel. Voor een kegel met een puntmassa erop heb je ook een differentiaalvergelijking maar dan een hele simele: a(r)=k1*g en ook weer 2 situaties:
1) de puntmassa staat precies stil boven de top van de kegel.
2) de puntmassa glijd langs een van de paden naar beneden met versnelling g*k1 met k1 bepaald door de tophoek van de kegel.
ook weer 2 oplossingen:

r(t)=0 voor t<=T en r(t)=1/2*g*k1*(t-T)^2 voor t>=T

dat weer in LTspice gestopt met k1=0.1 (een brede kegel met versenelling 0.1g) levert:

dus weer precies hetzelfde effect:
als de bal op de top ligt blijft hij liggen zodra je ook maar 1 picometer d kegel verplaats gaat de bal rollen
De vorm van de de versnelling als functie van r is hier dus geen wortel maar gewoon een oneindig stijle helling die klipt.
dus niet alleen een oneindig steile helling in de oorsprong ,maar een discontinuiteit in de oorsprong voor a(r)

[Professor Puntje]

Een picometer is niet nul. Treden de meerdere oplossing van de differentiaalvergelijking ook nog op zonder met de kegel te schudden? Daar gaat het om. Verder kun je Nortons koepeltje vervangen door een buis in de vorm van het koepeltje. Dan heb je de zaak versimpeld door de meerdere opties voor de richtingen van het glijden tot een terug te brengen.

Wacht eens: zet je de puntmassa op de top van de kegel? Daarbij heb je dan instabiel evenwicht, en dat is iets anders dan bij Nortons koepel en ook allang bekend.

[HansH]

Een picometer is niet nul. Treden de meerdere oplossing van de differentiaalvergelijking ook nog op zonder met de kegel te schudden? Daar gaat het om.

zoals je kunt zien is het 0 tot t=10ms. versnelling is dan 0 en blijft 0.