Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[HansH]

En een oplossing met ..................... oplossingen.

zit een foutje in zag ik net maar kon ik niet meer wijzigen, dus dan maar even zo:

wat er volgens mij gebeurt bij het omhoog rollen is dat beneden aan alle afgeleides omkeren van teken dus de 2e afgeleide van de versnelling -1/6 etc wordt en dat traject wat nu omhoog loopt eindigt dan met r=0 als je exact de juiste energie toevoert onderaan de helling. op het moment dat het balletje stil komt te liggen is die 2e afgeleide nog steeds -1/6, maar is de versnelling en de afgeleide van de verstelling 0. Nu kunnen er volgens mij daarna 2 dingen gebeuren:
1) 2e afgeleide van de versnelling blijft -1/6. dan rolt het balletje weer de helling af hoewel de verstelling op dat moment 0 was.
2) 2e afgeleide van de versnelling wordt op dat moment 0. dan zijn alle afgeleiden 0 en blijft het balletje bovenop liggen.
dat is beide dus exact het omgekeerde van wat er kan gebeuren vanuit stilstand bovenop
dus nog steeds 2 oplossingen.

[Professor Puntje]

Stel je het volgende voor:

Je geeft de puntmassa precies genoeg kinetische energie mee zodat die op de top van de koepel tot rust komt. Als de puntmassa daar dan geen aanstalten maakt om er weer af te glijden, dan pak je de puntmassa nadat die een tijd T op de top heeft gebivakkeerd van de top op. Nu volgt uit tijdsymmetrie dat ook het onderstaande kan gebeuren.

Je zet de puntmassa op de top van de koepel en wacht dan op de dingen die komen gaan. Dan kan het dus zijn dat de puntmassa na een tijd T spontaan van de koepel af begint te glijden. Kortom ook als je ervan uitgaat dat de puntmassa vanuit rust op de top geen enkele neiging zal vertonen om in beweging te komen, dan volgt uit tijdssymmetrie alsnog dat spontaan in beweging komen na een tijd T mogelijk is.

Als je het spontane in beweging komen van de puntmassa op de top wilt verbieden moet je dus minstens de tijdsymmetrie van de klassieke mechanica opgeven.

[HansH]

Nu volgt uit tijdsymmetrie dat ook het onderstaande kan gebeuren.

Je zet de puntmassa op de top van de koepel en wacht dan op de dingen die komen gaan. Dan kan het dus zijn dat de puntmassa na een tijd T spontaan van de koepel af begint te glijden. Kortom ook als je ervan uitgaat dat de puntmassa vanuit rust op de top geen enkele neiging zal vertonen om in beweging te komen, dan volgt uit tijdssymmetrie alsnog dat spontaan in beweging komen na een tijd T mogelijk is.

Als je het spontane in beweging komen van de puntmassa op de top wilt verbieden moet je dus minstens de tijdsymmetrie van de klassieke mechanica opgeven.

goed punt. ik denk echter dat je de tijd symmetrie nog wel kunt handhaven als je echt alles in omgekeerde volgorde doet, dus ook in omgekeerde volgorde al of niet toestaan dat de 2e afgeleide van de versnelling van 0 naar 1/6 gaat en daarmee het bewegen start bij r=0 of dat op de terugweg de 2e afgeleide van de versnelling van 1/6 naar 0 gaat en daarmee het bewegen stopt bij r=0. dus dan blijft de discussie of het veranderen van de 2e afgeleide van de versnelling spontaan kan gebeuren of niet.

[HansH]

Ik heb nog wat reacties op het filmpje verzameld die in de richting komen van hoe ik er zelf ook over denk:


@Simon-ts9fu
3 days ago
Whenever we have multiple solutions it is because the problem is ambiguously formulated. In this case the dome has a discontinuity in the second and higher derivatives at r = 0. The dome has two definitions at r = 0. One which is perfectly flat (all derivatives zero) and one which curves downwards. By the first the ball remains stationary and by the second the balls rolls down. The problem doesn’t specify which one to choose, hence the paradoxical result.


@thegamesbegin7309
3 days ago
I’m kinda confused because the answer seems obvious to me and I doubt I have the answer if indeed the issue is as big as you claim. I will read the paper when I have time just to be sure: the equation written is using a mathematical “sleight of hand” as you put it. It introduces a discontinuity in the 4th time derivative of position (the snap). This is physically impossible, because you would need an infinite variation of the jerk so, just like in other cases when using infinities, it breaks down.
Now, this is probably wrong but if anyone reads this and can tell me why I would appreciate it.


@leonhardeuler675
2 days ago
18:29 If we extend the derivatives here, then we get the third derivative of position with respect to t (jerk) as (t-T)/6 and the fourth derivative (snap) is just t/6 which is clearly non-zero. Which would be the kick needed to get the ball rolling. The trouble is that this happens at time T because r(t) = 0 for t<T. Before that, the snap is just 0 like everything else.



@orionyeung1654
1 day ago
Snap and jerk aren't part of the formulation of Newtonian mechanics, in general, when we express an ODE we don't also need to express it's higher derivatives and more importantly, we don't need to constrain those with initial conditions.

So while the higher derivatives are physical and would suffice to interpret the kick, the problem lies with the theory - does Newtonian mechanics need to specify all derivatives of motion for it to match reality? Or is there an alternative choice that makes the theory agree with reality?