zandkorrels

[ukster]

Kleine zandkorrels glijden zonder wrijving langs een cilindrische goot met straal R en hellingshoek α.
Alle korrels hebben een beginsnelheid van nul en starten in de buurt van punt A maar niet noodzakelijkerwijs precies in punt A

zandbak 429 keer bekeken

Wat moet de gootlengte zijn zodat alle korrels deze verlaten bij punt B?

[jwilbers]

Als er geen wrijving is en alpha >0 dan zullen alle zandkorrels er bij B uitkomen. Ze ervaren allemaal een (misschien heel kleine) versnelling van A naar B

[ukster]

Sorry, mijn fout .. kleine, maar niet onbelangrijke correctie op de vraag!

Kleine zandkorrels glijden zonder wrijving langs een cilindrische goot met straal R en hellingshoek α.
Alle korrels hebben een beginsnelheid van nul en starten op de rand in de buurt van punt A maar niet noodzakelijkerwijs precies in punt A.
Wat moet de gootlengte zijn zodat alle korrels deze verlaten bij punt B?

[wnvl1]

Tijdens het naar beneden glijden moet de zandkorrel een kwartperiode afleggen om centraal in de as van de goot uit te komen, de glijtijd is dus \(t=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{g}}\).

Gedurende die periode legt de zandkorrel in de richting van de as van de goot een afstand af gelijk aan \(\frac{g\sin(\alpha) t^2}{2}\).

Ik kom dan op $$L=\frac{\pi^2\sin(\alpha) R}{8}.$$

[ukster]

klopt (voor n=0)
(n+1/2) is het aantal kwart oscillaties

1 316 keer bekeken

[wnvl1]

Je hebt blijkbaar \(\tan(\alpha)\) ipv mijn \(\sin(\alpha)\). Al gaat dat niet veel uitmaken voor kleine hoeken. Voor grote hoeken is de formule sowieso niet van toepassing. Hoe kom je tot die tangens?

[ukster]

Ja, voor kleine hoeken inderdaad sinα ≈ tanα

R=30cm
α=5°
n=4,5 ( 5 kwartoscillaties)
L=3,238m

in tanα komt het hellingspercentage wat meer tot uitdrukking