Bij de ontwikkeling van de theorie in een ander topic ben ik mij gaan afvragen of er geen fraaiere benadering mogelijk is door van een iets andere basisverzameling uit te gaan. Zie:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php?s...st&p=681027

Om verwarring te voorkomen werk ik deze nieuwe versie in dit afzonderlijke topic uit. De theorie die ik in het boven genoemde topic al ontwikkeld heb is - voor zover ik kan zien - niet fout, maar ik wil hier proberen of ik nog een wezenlijk elegantere theorie op poten kan zetten. Daartoe zullen we hier niet slechts werken met geordende tweetallen van positieve reële getallen, maar met geordende tweetallen van alle mogelijke reële getallen (positief, negatief of nul). Of dit iets zinvols oplevert, zal gaandeweg moeten blijken.

De lezer zal daarbij merken dat de opbouw vooral in het begin gelijk oploopt met de uitwerking in het eerder genoemde andere topic. Er zal dus in ieder geval iets uitkomen. Met het begin van de uitwerking in het andere topic was ik echter al tevreden. Daar gaat het dan ook niet om. De lakmoesproef hier zal zijn of uit deze nieuwe theorie een natuurlijk (d.w.z. ongekunsteld) (pseudo)quotiënt rolt.

We gaan uit van de algebraïsche structuur (R,+, . ) van de reële getallen met de gebruikelijke optelling '+' en vermenigvuldiging '.' .

Stel nu dat we de tweesporige getallen a~b met a en b reële getallen formeel definiëren als geordende tweetallen (a,b) waarvoor geldt:

(a,b) + (c,d) = (a+c , b+d)

(a,b) . (c,d) = (a.c + b.d , a.d + b.c)

Voor de aftrekking '~' van tweesporige getallen definiëren we:

(a,b) ~ (c,d) = (a+d , b+c)

(De term 'tweesporige getallen' heb ik enige jaren geleden al eens gebruikt in een eerdere poging “delen door nul” mogelijk te maken. Die tekst heb ik echter nooit gepubliceerd, en inmiddels ook gewist. Soms moet je ruimte maken voor een nieuw begin. Maar de term 'tweesporige getallen' komt nog wel van pas. Om een duidelijk onderscheid te maken met de theorie uit mijn andere 'Delen door nul'-topic, spreek ik hier welbewust van 'tweesporige getallen' in plaats van 'verschilgetallen'. )

Om te beginnen zal ik nagaan wat voor algebraïsche structuur (T,+, . ) nu eigenlijk is, waarbij T de verzameling der tweesporige getallen is, en + en . de optelling en vermenigvuldiging van deze getallen zoals eerder gedefinieerd. We vermoeden een commutatieve semiring. Zie:

http://mathworld.wolfram.com/Semiring.html



Een commutatieve semiring is een verzameling V van wiskundige objecten tezamen met twee binaire bewerkingen + en . die voldoen aan:

1. Additieve associativiteit: Voor alle a, b en c uit V geldt: (a+b)+c = a+(b+c) ,

2. Additieve commutativiteit: Voor alle a en b uit V geldt: a+b = b+a ,

3. Multiplicatieve associativiteit: Voor alle a, b en c uit V geldt: (a.b).c = a.(b.c) ,

4. Multiplicatieve commutativiteit: Voor alle a en b uit V geldt: a.b = b.a ,

5. Distributiviteit: Voor alle a, b en c uit V geldt: a.(b+c) = a.b + a.c .

Laten we zien. Voor alle a, b, c, d, e en f uit R geldt:

1. ( (a,b) + (c,d) ) + (e,f) = (a+c,b+d) + (e,f) = (a+c+e,b+d+f) = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + ( (c,d) + (e,f) )

2. (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b)

3. Laat A = ( (a,b) . (c,d) ) . (e,f) en B = (a,b).( (c,d).(e,f) ). Dan vinden we:

A = ( (a.c + b.d , a.d + b.c) ) . (e,f) = ( a.c.e + b.d.e + a.d.f + b.c.f , a.c.f + b.d.f + a.d.e + b.c.e )

B = (a,b) . (c.e + d.f , c.f + d.e) = ( a.c.e + a.d.f + b.c.f + b.d.e , a.c.f + a.d.e + b.c.e + b.d.f )

Dus A = B.

4. (a,b) . (c,d) = (a.c + b.d , a.d + b.c) = (c.a + d.b , d.a + c.b ) = (c.a + d.b , c.b + d.a ) = (c,d) . (a,b)

5. Laat A = (a,b) . ( (c,d) + (e,f) ) en B = (a,b).(c,d) + (a,b).(e,f). Dan vinden we:

A = (a,b) . (c+e,d+f) = ( a.c + a.e + b.d + b.f , a.d + a.f + b.c + b.e )

B = ( a.c + b.d , a.d + b.c ) + ( a.e + b.f , a.f + b.e ) = ( a.c + b.d + a.e + b.f , a.d + b.c + a.f + b.e )

Dus A = B.

Waarmee bewezen is dat (T,+, . ) een commutatieve semiring is.

Definieer de reële waarde van het tweesporige getal a~b als:

rw(a~b) = a - b .

Dan geldt voor alle tweesporige getallen x en y dat:

rw(x + y) = rw(x) + rw(y)

rw(x ~ y) = rw(x) - rw(y)

rw(x . y) = rw(x) . rw(y)

Bewijs:

Voor alle a, b, c en d uit R geldt:

rw((a,b) + (c,d)) = rw( (a+c , b+d) ) = (a+c) - (b+d) = (a-b) + (c-d) = rw((a,b)) + rw((c,d)) .

rw((a,b) ~ (c,d)) = rw( (a+d , b+c) ) = (a+d) - (b+c) = (a-b) - (c-d) = rw((a,b)) - rw((c,d)) .

rw((a,b) . (c,d)) = rw((a.c + b.d , a.d + b.c)) = (a.c + b.d) - (a.d + b.c)

rw((a,b) . (c,d)) = (a-b) . (c-d) = rw((a,b)) . rw((c,d)) .

Het is handig om naast de reële waarde van tweesporige getallen eveneens te beschikken over de 'antireële waarde' van tweesporige getallen. De reële waarde van het tweesporige getal a~b definieerden we als:

rw(a~b) = a - b .

Voor alle tweesporige getallen x = a~b definiëren we de antireële waarde aw(a~b) als:

aw(a~b) = a + b .

Dan geldt voor alle tweesporige getallen x en y dat:

aw(x + y) = aw(x) + aw(y) ,

aw(x ~ y) = aw(x) + aw(y) ,

aw(x . y) = aw(x) . aw(y) .

Bewijs:

Voor alle a, b, c en d uit R geldt:

aw((a,b) + (c,d)) = aw((a+c , b+d)) = (a+c) + (b+d) = (a+b) + (c+d) = aw((a,b)) + aw((c,d)) .

aw((a,b) ~ (c,d)) = aw((a+d , b+c)) = (a+d) + (b+c) = (a+b) + (c+d) = aw((a,b)) + aw((c,d)) .

aw((a,b) . (c,d)) = aw((a.c + b.d , a.d + b.c)) = (a.c + b.d) + (a.d + b.c)

aw((a,b) . (c,d)) = (a+b) . (c+d) = aw((a,b)) . aw((c,d)) .

Voor alle reële getallen r en s definiëren we de tweesporige versie tv(r,s) als:
.

De tweesporige versie levert dus een tweesporig getal.

De tweesporige versie voldoet voor alle reële getallen r en s aan:

rw(tv(r,s)) = r ,

aw(tv(r,s)) = s .

Anders gezegd: de tweesporige versie tv(r,s) heeft altijd als reële waarde r en als antireële waarde s.

Bewijs:




.




.

Voor alle tweesporige getallen a~b en positieve natuurlijke getallen n definiëren we de n-de ontnulde waarde ow_n(a~b) als volgt:


De rij ontnulde waarden ow₁, ow₂, ow₃, ... , ow_n, ... geeft de mogelijkheid te bezien wat ow_n voor "n nadert tot oneindig" doet.

De ontnulde waarden bieden een alternatief voor de reële waarde wanneer (zoals bij het delen) het optreden van nullen tot problemen leidt. De motiverende intuïtie bij de gegeven precieze, formele definitie gaat aldus:

Voor a b :
.

Voor a=b & a 0 :
.

Voor a=b & a = 0 :
.

Voor alle tweesporige getallen x en y verstaan we onder het n-de ontnulde quotiënt x /_n y het tweesporige getal:
.

Deze definitie vloeit voort uit de onderstaande overwegingen. Voor tweesporige getallen x en y geldt steeds:

rw(x + y) = rw(x) + rw(y) ,

rw(x ~ y) = rw(x) - rw(y) ,

rw(x . y) = rw(x) . rw(y) .

aw(x + y) = aw(x) + aw(y) ,

aw(x ~ y) = aw(x) + aw(y) ,

aw(x . y) = aw(x) . aw(y) .

Dit patroon volgend zouden we (bij rw(y) 0) graag hebben:

rw(x / y) = rw(x)/rw(y) .

aw(x / y) = aw(x) . aw(y) .

Dit is aldus te realiseren:

x / y = tv( rw(x)/rw(y) , aw(x).aw(y) ) .

Maar de deling rw(x)/rw(y) zal voor sommige combinaties van tweesporige getallen tot problemen leiden. Zulke problemen zijn te voorkomen wanneer we rw(x)/rw(y) door ow_n(x)/ow_n(y) vervangen.

Voor de n-de ontnulde waarde ow_n(a~b) geldt:


Met een dergelijke deelsgewijze gedefinieerde functie rekent het nogal lastig. Dit probleem valt aanzienlijk te verlichten met behulp van een reële versie van de Kroneckerdelta. Dit vormt de aanleiding voor de hieronder staande definitie en identiteit.

Voor alle reële getallen x spreken we af dat:


Daarmee kunnen we dan schrijven:
.

Bewijs:

Laat:
.

Dan vinden we (waarbij we met v voor het gemak een getal ongelijk aan nul aanduiden):

Voor a b:


.

Voor a = b & a 0 :

.

Voor a = b & a = 0 :
.

Zodat:
.

Waarmee het bewijs voltooid is.

Onder de nulwaardige getallen of nulwaardigen binnen het systeem van de tweesporige getallen verstaan we juist die tweesporige getallen a~b waarvoor rw(a~b) = 0.

Verder weten we al dat:
.

Dus zijn de nulwaardige getallen precies die tweesporige getallen a~b waarvoor a=b.

Een bijzonder nulwaardig getal is 0~0. Dit tweesporige getal noemen we dubbelnul. Er geldt:

a~b + 0~0 = (a+0)~(b+0) = a~b ,

a~b ~ 0~0 = (a+0)~(b+0) = a~b ,

a~b . 0~0 = (a.0 + b.0)~(a.0 + b.0) = 0~0 .

Dubbelnul gedraagt zich exact als de gewone nul binnen de reële getallen, en vermenigvuldiging met dubbelnul is dan ook onherroepelijk.

Voor alle reële getallen r definiëren we de representant rep(r) als:
Dit is dus een tweesporig getal.

Uitwerking geeft:
.

De intuïtieve achtergrond van deze definitie is als volgt. Met behulp van de tweesporige versie vinden we voor ieder reëel getal r oneindig veel tweesporige getallen tv(r,s) met als reële waarde rw(tv(r,s)) = r. Is er daaronder nu één tweesporig getal tv(r,s) dat r intuïtief gesproken bij uitstek representeert? Omdat a~b intuïtief eigenlijk staat voor a - b , en we steeds als heuristisch principe hanteren dat a - a = a . (1 - 1) , zou voor de representatie bij uitstek tv(r,s) van r moeten gelden dat:







.

Als representatie bij uitstek van r, kortweg de representant rep(r), kiezen we daarom: tv(r,r) .

Voor alle nulwaardige getallen a~a en b~b ongelijk aan dubbelnul geldt:
,
,
.

Bewijs:

Voor alle nulwaardige getallen a~a en b~b ongelijk aan dubbelnul geldt:

.


.

.

En derhalve:
.

.

.

Voor alle reële getallen x geldt:
,
.

(Het luistert dus heel nauw hoe we een reële onbepaalde vorm in een uitdrukking met tweesporige getallen omzetten!)

Bewijs:


.


.

Voor alle tweesporige getallen x en positieve natuurlijke getallen n definiëren we de natuurlijke machten van x aldus:

x¹ = x ,

xⁿ⁺¹ = xⁿ . x .

Voor alle tweesporige getallen x en positieve natuurlijke getallen n geldt dat:

rw(xⁿ) = (rw(x))ⁿ .

Bewijs:

Laat x een willekeurig tweesporig getal zijn. Voor n=1 vinden we:

rw(x¹) = rw(x) = (rw(x))¹ .

Voor n=1 gaat de te bewijzen stelling dus al vast op.

Neem nu aan dat de stelling voor een zekere n opgaat. Dan vinden we:

rw(xⁿ) = (rw(x))ⁿ

rw(xⁿ) . rw(x) = (rw(x))ⁿ . rw(x)

rw(xⁿ . x) = (rw(x))ⁿ⁺¹

rw(xⁿ⁺¹) = (rw(x))ⁿ⁺¹ .

Als de te bewijzen stelling voor een zekere n klopt, dan is deze dus ook juist voor n+1.

Hiermee is de stelling door middel van volledige inductie bewezen.

Voor alle tweesporige getallen x en positieve natuurlijke getallen n geldt:

aw(xⁿ) = (aw(x))ⁿ .

Bewijs:

Laat x een willekeurig tweesporig getal zijn. Voor n=1 komt er:

aw(x¹) = aw(x) = (aw(x))¹ .

Voor n=1 gaat de te bewijzen stelling dus op.

Neem nu aan dat de stelling voor n juist is. Dan vinden we:

aw(xⁿ) = (aw(x))ⁿ

aw(xⁿ) . aw(x) = (aw(x))ⁿ . aw(x)

aw(xⁿ . x) = (aw(x))ⁿ⁺¹

aw(xⁿ⁺¹) = (aw(x))ⁿ⁺¹ .

Als de stelling voor n klopt, dan is deze dus ook correct voor n+1.

Hiermee is de stelling bewezen.

Voor alle tweesporige getallen a~b en positieve natuurlijke getallen n geldt:
.

Bewijs:

Laat a~b een willekeurig tweesporig getal zijn en n een willekeurig positief natuurlijk getal. We schrijven:

c~d = (a~b)ⁿ .

Dan vinden we:

c - d = rw(c~d) = rw((a~b)ⁿ) = (rw(a~b))ⁿ = (a - b)ⁿ ,

c + d = aw(c~d) = aw((a~b)ⁿ) = (aw(a~b))ⁿ = (a + b)ⁿ .

Zodat:
.
.

.

De formule voor natuurlijke machten van een tweesporig getal a~b luidt:
.

Deze uitdrukking inspireert ons tot een tweesporige generalisatie van reële functies.

Voor alle functies f van R naar R definiëren we de tweesporige generalisatie f* van T naar T aldus:
.

Voor alle reële functies f van R naar R, reële getallen r en tweesporige getallen x geldt:

rw(f*(x)) = f(rw(x)) ,

aw(f*(x)) = f(aw(x)) ,

f*(rep(r)) = rep(f(r)) .

Bewijs:

Voor alle reële functies f van R naar R, reële getallen r en tweesporige getallen x = a~b geldt:
.
.
.

Hiermee is de basis voor de theorie van de tweesporige getallen gelegd. Vanaf hier zou je in allerlei richtingen verder kunnen gaan...