Voetbal

[Jackshirak]

Een echte voetbal wordt gemaakt uit stukken zwart en wit leder die aan elkaar genaaid
worden zodanig dat de zwarte stukjes regelmatige vijfhoeken en de witte stukjes regelmatige zeshoeken vormen. Elke (zwarte) vijfhoek is omringd door 5 (witte) zeshoeken.
Elke (witte) zeshoek is omringd door evenveel vijfhoeken als zeshoeken. Als je weet dat
er op zo’n echte voetbal 12 vijfhoeken aanwezig zijn, hoeveel zeshoeken zijn er dan op
te vinden?

Kan iemand me helpen? Dit is een vraag uit de wiskunde olympiade.

[siep]

De 12 vijfhoeken leveren samen 60 zwart-wit overgangen.
Elke zeshoek heeft 3 zwart-wit overgangen.
Hoeveel zeshoeken zijn er dus?

[Jackshirak]

De 12 vijfhoeken leveren samen 60 zwart-wit overgangen.
Elke zeshoek heeft 3 zwart-wit overgangen.
Hoeveel zeshoeken zijn er dus?

“Elke zeshoek heeft 3 zwart-wit overgangen”
Dit snap ik niet zo goed. Ik snap ook niet hoe je aan de hand van zwart-wit overgangen de totale aantal zeshoeken kan berekenen. 2 vijfhoeken kunnen toch rond zelfde zeshoek liggen?

[siep]

"Elke (zwarte) vijfhoek is omringd door 5 (witte) zeshoeken."
Een vijfhoek heeft 5 randen, aan elke rand zit een witte zeshoek.
De 12 vijfhoeken hebben in totaal 12 * 5 = 60 randen.
Er zijn dus 60 randen met een zwart-wit overgang.

"Elke (witte) zeshoek is omringd door evenveel vijfhoeken als zeshoeken."
Een zeshoek heeft 6 randen:
- 3 daarvan grenzen aan een zwarte vijfhoek, dat levert een zwart-wit overgang
- 3 daarvan grenzen aan een witte zeshoek, dat levert een wit-wit overgang

Alle randen zijn bezet (alle 5 randen van elk van de 12 vijfhoeken en alle 6 randen van elke zeshoek).
Als elke zeshoek 3 zwart-wit randen heeft, en er zijn 60 zwart-wit randen beschikbaar,
dan zijn er dus 60 / 3 = 20 witte zeshoeken nodig.

Het maakt verder niet uit hoe de vijfhoeken en zeshoeken precies gekoppeld zijn: er zijn 60 zwart-wit overgangen die verdeeld moeten worden over zeshoeken met precies 3 zwart-wit overgangen per zeshoek.

[Jackshirak]

Zeer bedankt!
Maar hoe heeft u kunnen zien dat u het aantal zwart-witovergangen moest berekenen? Dus hoe zag u dat dit de makkelijkste manier was om het te berekenen.

[siep]

Zet de gegeven informatie op een rij:

Een echte voetbal wordt gemaakt uit stukken zwart en wit leder die aan elkaar genaaid worden zodanig dat de zwarte stukjes regelmatige vijfhoeken en de witte stukjes regelmatige zeshoeken vormen.

info:
een voetbal bestaat uit zwarte vijfhoeken en witte zeshoeken

Elke (zwarte) vijfhoek is omringd door 5 (witte) zeshoeken.
Elke (witte) zeshoek is omringd door evenveel vijfhoeken als zeshoeken.

info:
- elke vijfhoek grenst aan 5 zeshoeken
- elke zeshoek grenst aan 3 vijfhoeken en 3 zeshoeken.
hint:
De kleuren tussen haakjes (zwarte) (witte) (witte) zijn oude info, maar worden nog eens benadrukt.
Vaak is dat een hint richting de oplossing.

Als er op zo’n echte voetbal 12 vijfhoeken aanwezig zijn ...

info:
er zijn 12 vijfhoeken

Hoeveel zeshoeken zijn er op te vinden?

En dit is tenslotte de vraagstelling.


Bij dit soort vragen kijk je doorgaans eerst naar de gegeven info en wat je daaruit kan afleiden.
De kleuring is een hint, en maakt wat eenvoudiger om het probleem in gedachten voor te stellen.
Maar in feite kan je deze vraag ook zonder kleuren (met een egaal gekleurde voetbal) oplossen:

Elke vijfhoek grenst aan 5 zeshoeken, er zijn 12 vijfhoeken, dus 5 * 12 = 60 vijfhoekzeshoek overgangen.
Elke zeshoek bevat precies 3 vijfhoekzeshoek overgangen, er zijn dus 60 / 3 = 20 zeshoeken.

[Jackshirak]

Ontzettend bedankt!