Nog een vraag over bewijs in verzamelingenleer

[PhilipVoets]

Hoi,

Wederom laat ik me graag corrigeren/bijsturen qua redenering/notatie; dit is allemaal vrij nieuwe kost voor me.

Te bewijzen:
Zij X, Y, Z verzamelingen
(Y ∩ Z) ⊆ X én x ∈ Z, dan geldt: x ∉ Y\X

Bewijs:
1. Neem x willekeurig en definieer als volgt:
A: x ∈ X
B: x ∈ Y
C: x ∈ Z
2. Het gegevene is te herschrijven als:
C ∧ ((B ∧ C) -> A)
C ∧ (¬(B ∧ C) ∨ A) (Conditionele wet)
C ∧ ((¬B ∨ ¬C) ∨ A) (De Morgan)
C ∧ ((A ∨ ¬B) ∨ (A ∨ ¬C)) (Distributieve wet)
C is gegeven, dus C is waar, dus "waar ∧ iets" = "iets"
(A ∨ ¬B) ∨ (A ∨ ¬C)
A ∨ ¬B (∨-eliminatie)
¬(¬A ∧ B) (De Morgan)
Ergo: ¬(x ∉ X ∧ x ∈ Y), waaruit volgt: x ∉ Y\X
3. Omdat dit voor x willekeurig gekozen geldt, geldt het in algemene zin. Q.e.d.

Ik weet dat het korter/eleganter kan, maar klopt het bovenstaande ook?
Dank!

[PhilipVoets1]

Iemand met enige achtergrond die hier iets van kan vinden? Dank bij voorbaat!