Basis(sen) van isomorfe vectorruimten

[tombot]

Ik was net een bewijs aan het bekijken van een stelling die zegt dat de dimensie van twee isomorfe, eindig voortgebrachte vectorruimten gelijk is. In het bewijs probeert men aan te tonen dat de verzameling van het beeld van de basisvectoren van de ene vectorruimte, de basis vormt van de andere vectorruimte. Of, om het in symbolen voor te stellen:

STELLING:

\mathbb{R}, V, + \mbox{ is isomorf met } \mathbb{R},W,+ \Leftrightarrow dim_{\mathbb{R}}V=dim_{\mathbb{R}}W


BEWIJS:
\mbox{onderstel dat }f:V\rightarrow W \mbox{ een isomorfisme is. Neem een basis } \left \{ \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...,\vec{v_{n}} \right \} \mbox{ van V.}
\mbox{We beweren dat } \left \{ f(\vec{v_{1}}),f(\vec{v_{2}}),...,f(\vec{v_{n}}) \right \} \mbox{ een basis van W.}


Mijn vraag hierover is als volgt:
Omdat V isomorf is met W, en de afbeelding dus ook een bijectie is, dacht ik dat de basis van V automatisch ook een basis is van W. Want beide basissen (van V en W) bevatten evenveel basisvectoren én omdat de afbeelding V -> W een bijectie is, zijn deze vectoren ook voortbrengend (én vrij) voor de vectorruimte W. Er moet met andere woorden niet noodzakelijk een basis van W gevormd worden door bijvoorbeeld het beeld van de basisvectoren van V te nemen.

Klopt deze redenering, want ik vind niet direct een antwoord in mijn nota's/handboek...

Misschien nog wel even opmerken dat dit niet direct verband houdt met het bewijs zelf, want in dat geval is het wél nodig om het beeld van de basisvectoren te nemen. Mijn vraag is gewoon een opmerking die ik bij mezelf maakte.

[op=op]

Ik kan me voorstellen dat een basis van de ene ruimte wordt afgebeeld in een afhankelijk stelsel en net zo de andere kant op.
Dat bases op bases worden afgebeeld volgt niet uit de bijectiviteit van de afbeelding.

[tombot]

Ik zie net in dat mijn vraag in feite geen steek houd. Ik vroeg mij af of je de basis gekozen voor V ook kon gebruiken als basis voor W. Wat ik net inzag (klopt dit?) is dat die bepaalde basis van V wél een basis kan zijn van een willekeurige vectorruimte W, zonder rekening te houden met de afbeelding, maar niet identiek gebruikt kan worden als basis van W onder de afbeelding V -> W.

[wnvl]

Er geldt dus niet dat

\left \{ \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},...,\vec{v_{n}} \right \} \mbox{ een basis is van W.}

maar wel dat

\left \{ f(\vec{v_{1}}),f(\vec{v_{2}}),...,f(\vec{v_{n}}) \right \} \mbox{ een basis is van W.}


Stel \vec{w} \in W, dan bestaat er een \vec{v} \in V zodat

f(\vec{v})=\vec{w}

Er geldt dat

\vec{v}=c_1\vec{v_{1}}+...+c_n\vec{v_{n}}
\vec{w}=f(\vec{v})=f(c_1\vec{v_{1}}+...+c_n\vec{v_{n}})=...