Systeem van vergelijkingen oplossen

[Arie Bombarie]

Goedendag,
 
Ik heb de volgende vergelijkingen:
 

\(y = f(a,b)\)

\(a = f(y)\)

\(\dot{b} = f(b, y, \dot{y})\)

 
wat ik (numeriek) wil oplossen voor y.
 
Ik heb het systeem al in Simulink gezet, echter die weet daar geen raad mee vanwege de algebraische loop.
 
Iemand een idee?

[PeterPan]

Dit is geen systeem, maar een stelsel.
Een stelsel vergelijkingen.
 
Onduidelijk is of f een functie is van 1, 2 of 3 variabelen. 
De functies f, f en f zijn niet gegeven. Je kunt y niet bepalen als je niet weet wat f, f en f is. 
Kortom, een merkwaardige opgave.

[Arie Bombarie]

Bedankt voor uw reactie.
 
Sorry, een betere notatie zou zijn:

\(y = f_1(a,b)\)

\(a = f_2(y)\)

\(\dot{b} = f_3(b, y, \dot{y})\)

 
Dit stelsel vergelijkingen komt niet uit een boek, maar heb ik zelf afgeleid en de functies

\(f_1$\)

,

\(f_2\)

en

\(f_3\)

zijn bij mij dus bekend.
 
Ik vraag me af er bepaalde numerieke methoden zijn om een dergelijk stelsel vergelijkingen op te lossen.

[JorisL]

Op het eerste zicht zou je een soort van iteratie schema op kunnen zetten.
Wat ik daarmee bedoel is dat je een tijdsevolutie hebt voor b.
Bijgevolg ook voor y aangezien deze een functie is van b waarvoor een tijdsevolutie geimpliceerd wordt uit (3)
Tenslotte zal a ook evolueren in de tijd want hier komt y in voor.
 
Ik zou dit stelsel een soort van impliciet stelsel van differentiaal vergelijkingen kunnen noemen bij gebrek aan betere kennis van de terminologie.
 
Je kan het 'herschrijven' als (om bovengaande duidelijker te maken)
 
(1) 

\(y(t) = f_1(\,a(t),\, b(t)\,)\)

(2) 

\(a(t) = f_2(\, y(t)\,)\)

(3) 

\(\dot{b}(t) = f_3(\,b(t),\, y(t),\, \dot{y}(t)\,)\)

 
 
Nu is hetgeen je wilt doen zoeken naar een geschikte numeriek 'recept' om dit stelsel op te lossen.
Je kan bijvoorbeeld de Euler methode gebruiken, deze is het simpelst maar kan je al wat inzicht geven in het gedrag.
 
Een andere aanpak zou kunnen zijn om ook voor (1) en (2) de tijdsafgeleide van de vergelijking te bepalen. Dan krijg je een stelsel van differentiaal vergelijkingen.
Hierop kan je dan weer zo'n numerieke methode loslaten. Waarschijnlijk zou je dan zelfs kant en klare paketten kunnen gebruiken. Als de functies die je bepaalt hebt zich goed gedragen kan dat zeker. Bijvoorbeeld met wolframalpha.com

[PeterPan]

1. \(y = f_1(a,b)\)
2.  
   \(a = f_2(y)\)
3. \(\dot{b} = f_3(b, y, \dot{y})\)

Het eerste probleem is dat de manier van oplossen van dit stelsel sterk afhankelijk is van beginvoorwaarden.
 
Laat ik even een eenvoudig voorbeeld geven. In vergelijking 2 is a een functie van y.
Bij één a-waarde kunnen dat heel veel y-waarden horen. Het is als een boom die zich vertakt heeft. Je moet op één van de takken gaan zitten.
Als er een oplossing is voor dit stelsel, dan zal het waarschijnlijk een zeer locale oplossing zijn.
 
Laten we eens op één tak gaan zitten.
Vergelijking 2 geeft dat lokaal y als functie van a.
Vergelijking 1 geeft dan lokaal y als functie van a en b en vanwege de vorige regel a als functie van a en b, en hieruit
volgt lokaal b als functie van a.
Nu krijg ik problemen met vergelijking 3.
Hierin krijg je lokaal een functie van a uitgedrukt als functie van a.
Dit levert een triviale vergelijking of eindig veel oplossingen voor a.
a is dan lokaal constant.

[PeterPan]

Zoals JorisL terecht opmerkt moet er nog een parameter zijn (hij noemt het t) om de afgeleiden in vergelijking 3 te kunnen verklaren (Ik ging uit van afgeleiden naar a).
Dat had ik even niet door. Nu kun je vergelijking 1 en 2 samenvatten zodat je het volgende stelsel krijgt

1. \(y = f(y,b)\)
2. \(\dot{b} = g(b,y,\dot{y})\)

Met de juiste randvoorwaarden moet dit stelsel met standaardmethoden op te lossen zijn.

[Kris Hauchecorne]

Volgens mij moet dit zijn:
 
1. y=f(f(y),b)
 
Het lijkt me interessanter als Arie gewoon zijn formules doorgeeft.