Puzzels\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \)
Er wordt nu beweerd dat de grootste gemeenschappelijke deler van a en b groter is dan 1.
Bewijs:
als
\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \)
geldt, dan geldt ook \( a \cdot b = (a+b) \cdot c \)
.Stel dat a,b oneven zijn. Dan is a * b ook oneven. a + b is altijd even (twee oneven bij elkaar optellen geeft even), en een vermenigvuldiging met c kan dit nooit meer oneven maken. Met andere woorden, a,b kunnen niet beide oneven zijn.
Stel a,b zijn even. Dat is a * b ook even. (a + b) is ook even. Als we nu een c kunnen vinden (oneven of even) dan is het goed.
Stel dat een even is en een oneven. Dan is a \cdot b even. Echter (a + b) is oneven. Nu moet
\( c \)
wel even zijn om de vergelijking kloppend te maken.Dit houdt dus in, of a,b zijn beide even, of een van beide is oneven en dan volgt dat c even moet zijn als er al een oplossing bestaat.
Nu stel dat a,b even zijn. Nu stel dat er een c bestaat die voldoet aan de breuk, dan weten we direct dat a en b deelbaar zijn door een getal groter dan 1, want a en b zijn even en dus deelbaar door 2 > 1. Dit gedeelte is voldaan.
Nu de situatie waarbij eentje even is en de ander oneven. Dus zeg a is van de vorm a = 2k en b = 2n + 1. met n en k natuurlijke getallen (inclusief 0).
De breuk geeft dan:
\( \frac{1}{2k} + \frac{1}{2n+1} = \frac{2(n+k) + 1}{4kn + 2k} = \frac{1}{c} \)
.Als nu een c bestaat die hieraan voldoen (die geheeltallig is) dan zijn we nog niet klaar. We moeten dan aantonen dat ze beide een deler hebben groter dan 1. lastig. Echter, misschien heeft c bepaalde eigenschappen als deze geheeltallig is. We weten dat:
\( c = \frac{4kn + 2k}{2(n+k)+1} \)
.en even is (zie bovenaan). Als ik nu getallen probeer zie ik inderdaad dat voor goede keuzes voor k en n, er een geheel getal uitkomt en dat ze dan inderdaad deelbaar zijn door een getal groter dan 1. Maar ik weet niet of dit tweede deel zo ''lekker'' zal gaan met bewijzen.
Verder heb ik het volgende ontdekt : pak een geheeltallig getal a >1 . Als het deelbaar is door 2, dan vermenigvuldig a met (2-1) en dit geeft een getal b. Dit voldoet aan de breuk en beide getallen zijn deelbaar door a >1 dus mooi zo. Als a deelbaar is door 3, dan vermenigvuldig a met (3-1) en dit geeft getal b. Dit voldoet aan de breuk en beide zijn deelbaar door a > 1, dus mnooi. Als het deelbaar is door 4, dan ... etc etc.
Echter dit een methode die alle delers afgaat van het getal a, maar hierdoor kan ik uitiendelijk paren a,b missen, namelijk (10,15) of (14,35).
Eigenlijk 2 vragen, kan iemand mij helpen het restant te bewijzen? bvd!
