[wiskunde] bewijs gehele getallen met breuk

[Safe]

En wat wilde je bewijzen ...

[lucca]

precies, maar dat probeerde ik ook nog te zeggen in de enerlaatste post! Maar kan a niet gelijk zijn aan 1? Nee, omdat voor a,b gelijk aan 1, de vergelijking nooit kan kloppen, toch?
 
Trouwens, als je naar mijn reactie kijkt op Drieske. Daar zeg ik dat g een veelvoud moet zijn van (a1+a2). Maar ik ben niet zeker over het volgende.
 
we weten dat g een veelvoud moet zijn van (a1+a2), duidelijk. dus g deelbaar door (a1+a2). Echter, c wordt ook een veelvoud van a1 * a2. In eerste instantie dacht ik nu probleem, want ggd(c,a1,a2) = 1. Maar het is dus niet erg als c deelbaar is door a1 en a2, want je kunt best een getal c hebben c = k * a1*a2, waarbij ggd(c,a1,a2) nog steeds 1 is. Omdat ggd(c,a1,a2) dan eigenlijk wordt ''opgespannen'' door a1 en a2. Klopt dat hoe ik dat zeg?

[Drieske]

Euhm, beweren jullie nu dat de ggd(a,b) steeds a moet zijn? Daar lijkt het alleszins wel op... En dat is volledig verkeerd: 1/10 + 1/15 = 1/6. 
 
In mijn ogen zijn er nog wel wat andere haken en ogen aan het verhaal, maar laten we eerst maar die ophelderen .

[Th.B]

Je kunt ook stellen dat ggd(a,b) = 1 en daar dan een tegenspraak uit afleiden. Je weet dat ab = c(a+b). Stel dat p priem, p deelt a. Dan p deelt niet b, omdat anders ..? Dus p deelt niet ..? Dus p deelt ..?
Wat is dan de tegenspraak?

[lucca]

@Th.B:
 
Als p een priemgetal is (zegge dat 1 niet meetelt) dat deelt a, dan weten we dat p niet b deelt, omdat anders je aanname dat ggd(a,b) = 1 vervalt. Nu zie ik niet in waarom ik kan concluderen dat ietsanders niet p deelt? Ik kan wel een gok doen; namelijk c.
 
Als p niet c deelt, dan moet p wel (a+b) delen, om de vergelijking (a+b)c = ab geldig te houden. Maar (a+b) is niet deelbaar door p dus tegenspraak.
 
Echter, ik snap niet waarom c niet deelbaar zou kunnen zijn door p....
 
 
@driekske, m.b.t. originele bewijs. Kun je nog een keer kijken naar mijn reactie op de eerste pagina (dus als reactie op jouw post). Nemen we g gelijk aan (a1+a2) zodanig dat c geheeltallig wordt en dus wordt c = a1*a2 (wat niet erg is, want dan nog steeds geldt ggd(a,b,c) = 1 (omdat a deelbaar is door g en a1, b deelbaar door g en a2 en c alleen deelbaar door a1 en a2). Als ik g nu 2 *(a1+a2) kies, gaat het dan ook goed? c wordt dan wel deelbaar door 2, en misschien is dat nu net ook a1 of a2... toch?

[Safe]

 
Euhm, beweren jullie nu dat de ggd(a,b) steeds a moet zijn? Daar lijkt het alleszins wel op... En dat is volledig verkeerd: 1/10 + 1/15 = 1/6.
 

 
'We' waren nog niet klaar, maar alleszins  bedankt voor je vb ...
Nu wacht ik af of lucca verder wil gaan ...

[lucca]

Inderdaad bedankt voor de reactie. Safe, kun je anders (al) antwoord geven op mijn laatste post?

[Drieske]

@driekske, m.b.t. originele bewijs. Kun je nog een keer kijken naar mijn reactie op de eerste pagina (dus als reactie op jouw post). Nemen we g gelijk aan (a1+a2) zodanig dat c geheeltallig wordt en dus wordt c = a1*a2 (wat niet erg is, want dan nog steeds geldt ggd(a,b,c) = 1 (omdat a deelbaar is door g en a1, b deelbaar door g en a2 en c alleen deelbaar door a1 en a2). Als ik g nu 2 *(a1+a2) kies, gaat het dan ook goed? c wordt dan wel deelbaar door 2, en misschien is dat nu net ook a1 of a2... toch?

 
Ik wil er gerust op terug komen later, maar misschien best niet teveel opties tegelijk bespreken voor je eigen gemak . 
 
 

 
'We' waren nog niet klaar, maar alleszins  bedankt voor je vb ...
Nu wacht ik af of lucca verder wil gaan ...

 
Ik had de indruk dat jullie het eens waren over het bewijs (en je dus instemde met zijn conclusie), vandaar mijn vb. Als dat niet het geval was, zoveel te beter. 

[Th.B]

@lucca. ik bedoelde dat p dus niet a+b deelt. Dus p deelt c. Maar dit moet dan gelden voor iedere priemfactor die een deler is van a, dus als de priemfactor 5 nu 4 x voorkomt in a, dan moet deze ook 4 x voorkomen in c. Waarom leidt dit tot tegenspraak?

[lucca]

OK, het moet gelden voor elke priemfactor die een deler is van a. Elk getal kam volledig worden opgebouwd door priemgetallen, dus je krijgt bijv. p1 x p2 x p3 x ... x pn = a. Maar dan moeten al deze priemgetallen ook in a voorkomen. Vergelijkbaar kan ik dit opvoeren voor het getal b. Maar dan wordt c een getal als Eem product van alle priemgetallen van a en b, maar dan wordt c = a x b. Echter, we weten dat c kleiner is dan a en b ( anders kan die breuk niet kloppen) en dus een tegenspraak.

Klopt dit?

[Th.B]

Da's ongeveer wel het idee ja. Maar het is niet erg goed geformuleerd. Je doet het lijken alsof elke priemfactor nu maar 1x voor komt in a en b. Verder volgt uit de redenering strikt genomen niet dat c = ab, maar dat c minstens even groot is als ab. Kun je het nu wat netter formuleren?