Relativistische golfvergelijking voor gebonden systemen?

[Boormeester]

Een voorbeeld hiervan is het verval van muonen die onstaan bij reacties van de kosmische straling met de atomen van de dampkring: voordat ze het aardoppervlak zouden bereiken zouden ze vervallen moeten zijn bij hun reis door de dampkring, echter door de lorentzcontractie van de straal van de dampkring in hun eigentijd, kunnen ze toch het aardoppervlak bereiken voordat ze vervallen zijn.
(de straal van de dampkring is gemeten in het stilstaande referentie kader. Het bewegende muon ziet echter een kortere straal van de dampkring: het beweegt in de richting van de straal)

[Boormeester]

Bij de Ehrenfest paradox is er alleen een stilstaande waarnemer in het middelpunt. Hij kan gewoon de wetten van zijn referentiekader toepassen.
Alle bewegende waarnemers op de schijf zullen eenzelfde straal waarnemen doch een kortere omtrek (aangezien ze in de richting van de omtrek bewegen).
Je zou kunnen zeggen dat alle waarnemers op de schijf dezefde straal meten als de waarnemer in het middelpunt, maar niet dezelfde omtrek. Afhankelijk van hun positie op de schijf zullen ze dus verschillende waarden van π vinden (kleiner dan 3,1416).

[descheleschilder]

Zoals ik al beweerde bestaat er niet zoiets als een onsamendrukbare schijf. Mijn kijk is dat een schijf de straal aanpast om de formule van de omtrek te handhaven, en de waarde van π constant blijft. In een atoom is er geen sprake van een schijf maar van een vlakke ruimte waar r zich gemakkelijk aan kan passen (nogmaals: niet als gevolg van een relativistische lengtecontractie) als reactie op de ook door ons korter geobserveerde baan (net zoals wij de ruimte in de bewegingsrichting van muonen verkort observeren) om π constant te houden, zodat voor de formule van de omtrek van een cirkel 2πr blijft gelden (met π Natuurlijk constant. Maar ik moet toegeven dat dit heel lastige materie is!

[Boormeester]

Wij observeren geen verkorte baan van de muonen, dat constateren de muonen zelf. Wij meten gewoon in ons eigen referentiekader, net zoals de muonen dat doen. Alleen onze gemeten waarden (de straal van de dampkring) worden door de muonen verkort "gemeten". Net zoals de muonen de halfwaarde tijd hanteren die in het stilstaande laboratorium op aarde gemeten is. Voor het muon is dat de eigen tijd! Wij echter zien die halfwaarde tijd vergroot doordat de muonen met een grote snelheid bewegen: de tijddilatatie. Door die vergrote halfwaarde tijd zien wij de muonen toch het aardoppervlak bereiken.
Je kunt dus stellen dat de muonen een verkorte straal van de dampkring "meten" (en daardoor het aardoppervlak kunnen bereiken) en dat de mensen op het aardoppervlak de muonen kunnen detecteren doordat de halfwaarde tijd vergroot wordt.

[Boormeester]

Een stilstaande waarnemer (in het midden van de roterende schijf) kan gewoon de  wetten van de mechanica toepassen mits hij de relativistische massa gebruikt: m=m₀/√(1-v²/c²) en P=mv  en E=mc²,  omgezet naar rotaties.

[descheleschilder]

Reactie op bericht 19: Volgens de SRT is er geen verschil vanuit welk perspectief je de metingen doet: Je kunt net zo goed stellen dat wij naar het muon bewegen en een verkorte straal van de dampkring meten en de muonen de tijd op Aarde langzamer zien gaan.
Nog een vraagje. Bij een rechtlijnige eenparige beweging kan ik mij wel voorstellen dat er lengtecontractie optreedt volgens de SRT. Maar als we naar de cirkelbeweging van een elektron kijken (die niet eenparig is) en poolcoördinaten gebruiken, hoe kan de φ-coördinaat dan krimpen als de ruimte vlak blijft? Als je (even in twee ruimtedimensies bekeken) de φ-coördinaat laat krimpen in een vlakke ruimte, wordt die ruimte dan niet vervormd? Je zou denken dat er een kegel ontstaat (vergelijk het met een rond stok papier waarin je met een schaar tot het middelpunt knipt en er vervolgens een kegel van maakt). Een cylinder heeft geen kromming, maar een kegel? Weet jij dat?

[Boormeester]

Wij meten de straal van de dampkring in ons eigen referentie kader. Dat is een gegeven. Om naar het muon referentie kader te gaan moet je de lorentzcontractie toepassen. Je kunt niet de zaken omdraaien: wij hebben niet de beschikking over de waarde die "het muon" heeft gemeten!
In de speciale relativiteits theorie is de ruimte niet vervormd. Zij is vlak. Voor beide referentie stelsels is de ruimte vlak. Ieder heeft zijn eigen tijd en ruimte. Wel kun je zeggen dat 1 meter in het ene stelsel niet gelijk is aan de meter van het andere stelsel. Hetzelfde geldt voor de seconde. Ze worden pas gelijk aan elkaar als de onderlinge snelheid 0 wordt.

[descheleschilder]

Ik heb het verkeerd geformuleerd. Je kunt (en dat is een wezenlijk kenmerk van de SRT) net zo goed stellen dat wij het muon bereiken, niet zoals ik zei omdat wij de dampkring zien verkorten, maar de ruimte in de bewegingsrichting van het muon, en dat wij zodoende het muon kunnen bereiken. En het muon ``ziet`` de klok op Aarde langzamer gaan omdat in het ruststelsel van het muon (waarin de eigentijd van het muon gedefinieerd is)  wij naar het muon toe snellen, zodat wij in het ruststelsel van het muon het muon kunnen bereiken. 
Ik denk echter dat in tegenstelling tot wat de SRT zegt, je weldegelijk kunt stellen dat het muon in absolute beweging is, als je absolute beweging definieert als een beweging die door een versnelling is ontstaan.
Heeft ruimte in de vorm van een kegel nou een vlakke structuur of een gekromde? Volgens mij is er op zo´n ruimte weldegelijk een krommingstensor ongelijk nul aanwezig, dus is die ruimte gekromd.

[Boormeester]

Een vlakke ruimte is een ruimte zonder gravitatie. Gravitatie vervormd de ruimte. Wij leven in een wereld zonder noemenswaardige gravitatie (niet meetbare kromming: som der driehoeken = 180).
In een vlakke ruimte geldt de speciale relativiteits theorie. HIer kun je gewoon de behoudswetten toepassen mits je voor de massa de relativistische formule gebruikt. Je kunt dus gewoon versnellingen met die wetten uitrekenen (de baan). 
In de SRT kun je gewoon met variabele snelheden rekenen. Een vergissing is dat de SRT  enkel beperkt is tot eenparige snelheden!
Als 2 waarnemers eenparig rechtlijnig tov elkaar bewegen kun je inderdaad zeggen dat het niet uitmaakt wie beweegt tov elkaar.
Bij versnellingen is dat anders: hier kun je wel degelijk zeggen dat de een versnelt tov de ander en niet andersom.
Voorbeeld: in de auto die vertraagt krijg je een"schok" op het moment dat de auto (die remt) de snelheid nul krijgt (einde vertraging).
Omgekeerd: op het begin moment van de versnelling wordt je in de stoel gedrukt.
Ander voorbeeld: de draaiing van de aarde. Het is de aarde die draait en niet het heelal om ons heen. Je "voelt de centripetale kracht" (in combinatie met de gravitatie kracht).
Om van een absolute versnelling te spreken is wat dubieus. Ik zou wat dat betreft enkel spreken van een versnelling tov de kosmische achtergrond straling.

[descheleschilder]

Maar die schok is gelijk aan een gravitatieveld (de eenparig versnelde lift). De SRT moet dan vervangen worden door de ART, aangezien volgens het equivalentieprincipe een persoon in die eenparig versnelde lift geen onderscheid weet te maken (in een kleine omgeving, aangezien in de ART een constant gravitatieveld niet bestaat, maar als je de omgeving rondom de persoon klein genoeg maakt is de benadering goed) tussen een door een massa veroorzaakte gravitatie of door de versnellende lift.
Versnelling is altijd absoluut. Ik had het over een eenparige beweging die absoluut kan zijn, inderdaad ten opzicht van de CMBR omdat die eenparige beweging ooit veroorzaakt is door voornamelijk de e.m. kracht, waardoor een beweging ten opzichte van die CMBR ontstaat. Een massa die onderhevig is aan gravitatie vertoont geen beweging ten opzichte van de achtergrondstraling, aangezien die ook onderhevig is aan de gravitatie.
Maar dwalen we niet een beetje van jouw vraag af?

[Boormeester]

Klopt. Het zou leuk zijn als iemand een poging waagt om de energie niveau's af te leiden op de aangegeven manier. 

[descheleschilder]

Hoe werkt dit eigenlijk in het geval je tot de Schrödinger vergelijking wil komen. De energieniveaus waren bekend (empirisch, zonder een theorie om hen te verklaren) vóór die vergelijking er was. Maar hoe kom je van daar tot die vergelijking?

[Boormeester]

De Schrodinger vergelijing is niet af te leiden. Het volgt uit de Energie vergelijking (behoud van energie, inclusief potentiële) en daarop het correspondentie principe toe te passen. Zie de leerboeken. 
Doe je dat relativistisch (zonder potentiële energie) dan krijg je de Klein Gordon vergelijking
Men probeert gewoon wat en kijkt of het overeenkomt met de werkelijkheid. Tot nu toe lukt dat aardig met de huidige golfmechanica. Tot nu is alleen een relativistische vergelijking voor het vrije elektron opgesteld (vergelijking van Dirac, is ook Lorentz invariant en voldoet ook aan de Klein Gordon vergelijking (de oplossing))

[descheleschilder]

Ik begrijp wel dat de Schrödinger vergelijking is ontstaan uit de klassieke uitdrukking voor de energie, E_tot=p²/2m+V, waarna je E_tot en p vervangt door operatoren, die je vervolgens op een functie φ laat inwerken (hoe is men op die operatoren gekomen?; met vallen en opstaan?). Om tot de Klein-Gordon vergelijking te komen ga je uit van de relativistische uitdrukking van de energie, waarin geen V voorkomt en de vergelijking zodoende vrije deeltjes beschrijft (spin 0). Maar hoe kom je tot een relativistische vergelijking van een relativistisch gebonden systeem (waar een V aanwezig is, veroorzaakt door een fotonencondensaat) door eerst de energie van de deeltjes te bepalen uitgaande van een verkorte baan? Hoe verandert een verkorte baan de energie van de deeltjes (zoals je al begrepen hebt geloof ik niet in een verkorte baan of een vlakke ruimte of een constante onderlinge afstand waarin de relativistische deeltjes bewegen, maar stel)? De onderlinge afstand blijft gelijk, dus wordt dan de golflengte kleiner en de energie groter? Je schreef net dat de Schrödinger vergelijking niet af te leiden is uit de waarden voor de energie in het niet relativistische geval. Zou dit dan ook niet het geval zijn voor een relativistische vergelijking voor relativistisch gebonden systemen?
 

Als je dit idee nu eens toepast met een relativistische benadering, waarbij de omtrek van de baan, bekeken vanuit het elektron, verkort wordt met een factor V(1-v2/c2).

Ik denk dat je vanuit die benadering toch wellicht tot een relativistische energie verdeling kan komen en wellicht tot een relativistische golfvergelijking.

Dezelde methode kun je toepassen voor elk 2 deeltjes probleem: elektron-positron etc.

[Boormeester]

Tja, ik ben er zelf ook wat dieper op ingegaan door wat oude boeken te raadplegen. Het valt niet mee. Ik betwijfel nu of in SRT een cirkelbaan wel mogelijk is. De klassiek parabolische baan verandert in een relativitisch systeem in een cosh baan (constante kracht loodrecht op de beginsnelheid) .
Je zou denken van wel aangezien er geen contractie plaatsvindt in de richting van de straal en in dat geval kracht en versnelling dezelfde richting hebben. 
Ik redeneer hier vanuit een referentie kader waarin de waarnemer zich bevindt in het "midden" (oorsprong) van een van de 2 deeltjes. 
Klassiek zou de baan dan zijn: ellips (cirkel), parabool, hyperbool, afhankelijk van de waarde van E (totale energie). Een gebonden systeem ontstaat als E < 0.
Je zou dus, als een cirkelbaan mogelijk is, van deze, in de SRT, de omtrek moeten uitrekenen en dan een geheel aantal malen de  "de Broglie" golflengte op afpassen.