Moeilijk Vraagstuk

[johanfollon]

Hallo,

Ik heb een moeilijk vraagstuk dat als volgt gaat.

Een bioscoop heeft bij een inkomprijs van 4 euro gemiddeld 240 bezoekers. Wordt de inkomprijs met 0,25 euro; 0,5 euro;... verhoogd, dan loopt het bezoekersaantal terug met 10, 20,... Bij welke inkomprijs zijn de inkomsten maximaal? Hoeveel bedragen die dan?

dus 4 euro 240 personen

4,25 euro 230 personen

4,5 euro 220 personen

Ik moet een functie uit deze getallen hebben, maar ik weet niet dat ik goed bezig ben.

4^2a+4b+c=240

(4,25)^2a+4,25b+c=230

(4,5)^2a+4,5b+c=220

Ik zit hier vast

Dank bij voorbaat

[TD]

Inkomst = aantal * prijs

Als we de prijsverhoging x noemen, dan geldt dat:

nieuwe prijs = prijs + x = 5 + x

nieuw aantal = aantal - 40x = 240 - 40x

Nieuwe inkomst = (5 + x)(240 - 40x)

Differentiëren en gelijkstellen aan 0, oplossen naar x.

[JVV]

Moet het niet zijn? ;

Nieuwe inkomst = (4 + x)(240 - 40x)

[TD]

Ja tuurlijk, we begonnen met 4 euro

[johanfollon]

hallo,

differentiëren betekent dat (4+x) vermenigvuldigen met (240-40x)

ik begrijp niet wat je bedoelt met gelijkstellen aan 0

en hoe moet ik de maximale inkomsten berekenen.

ik dacht dat de oplossing een stelsel is

[TD]

De inkomstfunctie (in functie van x) is dus als volgt:

I(x) = (4+x)(240-40x) = - 40x² + 80x + 960

Afleiden geeft:

I'(x) = -80x + 80

Gelijkstellen aan 0 en oplossen naar x levert:

I'(x) = 0 <=> -80x + 80 = 0 <=> x = 1

[johanfollon]

hallo

hoe kom je aan I'(x) = -80x + 80

I'(x) is dat hetzelfde als kun je ook schrijven y=-80x+80

[TD]

Ja hoor, I(x) kan je als y zien, dan is I'(x) de afgeleide functie dus y'.

Heb je differentiëren wel gezien? Zonee, dan moet je op een andere manier de top bepalen van de oorspronkelijke inkomstfunctie I(x), dat is namelijk een parabool.

[blaze]

misschien heb je gezien dat het maximum of minimum bij een parabool te vinden is op een x-waarde van -b/(2a)? als je die invult in je vergelijking bekom je de oplossing!

[johanfollon]

hallo

ja dat heb ik gezien -b/(2a)

maar y= -80x + 80 is toch geen parabool, dus ik kan de top niet bereken

[TD]

Dat is de afgeleide functie.

Zoals ik al zei moet je dan de oorspronkelijke functie nemen, namelijk I(x).

Die was: I(x) = - 40x² + 80x + 960

Toepassen van -b/(2a) levert ook hier de top op x = 1.

[johanfollon]

hallo,

ik begrijp er niets meer van.

ik dacht dat ik 2 funtie nodig had en dat ik 2 onbekends had x en y

voor een stelsel op te lossen.

of is 1 de oplossing van het vraagstuk

[TD]

Er is geen stelsel, er is één vergelijking namelijk de functie die we hebben opgesteld. Deze stelt de inkomst voor in functie van de prijsverhoging x, dus de functie I(x). Dit mag je gerust "y" noemen, zodat je meetkundig een parabool krijgt.

De vergelijking van die parabool was: y = - 40x² + 80x + 960.

Hieruit kan je met de formule voor de top het maximum berekenen.

[blaze]

eens samenvatten:

noem y de totale inkomsten

we kennen een verband tussen de inkomsten, aantal bezoekers en kostprijs ticket:

y = aantalbezoekers*kostprijs

we weten ook volgend verband tussen het aantal bezoekers en de kostprijs:

aantal bezoekers van 240-40x geeft een kostprijs van 4+x

we kunnen schrijven: y=(240-40x)(4+x)

of nog

y=-40x²+80x+960

-b/(2a) = 1

dus voor x=1 bereikt de parabool een maximum (de parabool is een bergparabool=> maximum)

voor die xwaarde hebben we voor y: 1000 euro.