kardinaliteit verzameling functies

[De leek]

Beste mensen, ik vraag me af wat de kardinaliteit is van het totaal aantal functies van R->R. Met functies van R->R bedoel ik dus specifiek deelverzamelingen van R^2 met de eigenschap dat elke lijn evenwijdig aan de y as slechts 1 punt snijdt. Nu is mijn vraag of de kardinaliteit van deze verzameling gelijk is aan die van R, of dat we te maken hebben met een verzameling met de kardinaliteit van de machtsverzameling van R. En hoe zit het met continue functies?
 
 De reden dat ik mij dit afvraag is het volgende: Beschouw een oneindig lange lijn en een punt dat over die lijn beweegt. Elk traject van t= -∞ tot t=∞ kunnen we weergeven in een x,t diagram, die dan de vorm heeft van een grafiek(zoals boven beschreven). Als het punt niet zomaar van de ene naar het andere punt kan springen hebben we zelfs een continue functie. Mijn vraag is nu of het mogelijk is om in een 3 dimensionale ruimte alle geschiedenissen weer te geven. Als we ons beperken tot trajecten waarin het punt niet kan 'springen' zouden we zelfs een oppervlak kunnen maken dat geassocieerd kan worden met alle mogelijke trajecten van het punt die je maar kan bedenken. Maar dat kan alleen als de kardinaliteit van alle trajecten gelijk is aan die van R(en dus van R^3), zoniet dan kan de verzameling nooit geassocieerd worden met een deelverzameling van R^3 en gaat het feest niet door om het zo maar te zeggen.
 
 We kunnen dit namelijk nog verder doorvoeren, en dan kom ik op de oorspronkelijke motivatie van deze vraag: Is het mogelijk om alle denkbare geschiedenissen van het universum weer te geven in een 5 dimensionale ruimte?

[tempelier]

Ze hebben zeker niet het zelfde kardinaal getal.
 
Bewijsbaar is dat de verzameling van de reële functies op [0,1] en die daarop slechts de waarden 0 en 1 aannemen
niet het zelfde kardinaal getal hebben als  van de reële getallen.
 
Het bewijs berust ook op de diagonaal methode.
 
Bron:
Mengenlehre
Prof. Dr. Erich Kamke.
 
Sammlung Goschen.
 
PS.
 
De verzameling van alle oneindige (reële) matrices heeft een nog hoger kardinaal getal als de reële functies.

[Drieske]

Dat de kardinaliteit strikt groter is, is veel eenvoudiger in te zien dan met een diagonaalmethode ofzo.
 
Zij A een deelverzameling van de reële getallen en definieer de functie

\(\chi_A(x) = \begin{cases}0 & \text{ als } x \notin A \\ 1 & \text{ als } x \in A\end{cases}\)

Het is duidelijk dat de afbeelding 

\(A \mapsto \chi_A\)

een bijectie is tussen P(R ) en de functies van R naar {0, 1}. Dus |P(R )| = |{functies van R naar {0, 1}}| ≤ |{functies van R naar R}|. Daar nu tenslotte |R| < |P(R )|, zijn we klaar.
 
Voor de exacte cardinaliteit van functies van R naar R zou je bijv. hier (http://math.stackexchange.com/questions/17914/cardinality-of-the-set-of-all-real-functions-of-real-variable ) inspiratie kunnen halen.

[De leek]

Dat de kardinaliteit strikt groter is, is veel eenvoudiger in te zien dan met een diagonaalmethode ofzo.
 
Zij A een deelverzameling van de reële getallen en definieer de functie

\(\chi_A(x) = \begin{cases}0 & \text{ als } x \notin A \\ 1 & \text{ als } x \in A\end{cases}\)

Het is duidelijk dat de afbeelding 

\(A \mapsto \chi_A\)

een bijectie is tussen P(R ) en de functies van R naar {0, 1}. Dus |P(R )| = |{functies van R naar {0, 1}}| ≤ |{functies van R naar R}|. Daar nu tenslotte |R| < |P(R )|, zijn we klaar.
 
Voor de exacte cardinaliteit van functies van R naar R zou je bijv. hier (http://math.stackexchange.com/questions/17914/cardinality-of-the-set-of-all-real-functions-of-real-variable ) inspiratie kunnen halen.

 Bedankt, dat is inderdaad een hele makkelijke manier om in te zien dat die kardinaliteit wel groter moet zijn! De exacte cardinaliteit kan nooit groter zijn dan |P(R )| lijkt me, simpelweg omdat de verzameling van functies van R->R een deelverzameling is van P( R² ) en we weten dat R² dezelfde kardinaliteit heeft als R. Dus volgens mij heb je hiermee ook direct bewezen dat het voor functies van R->R geldt.
 
Het antwoord is dus nee, het is niet mogelijk alle mogelijke trajecten van dat punt in een 3D ruimte weer te geven. Maar zolang we geen sprongen toelaten is dit wel mogelijk, ik heb nog even op de site rondgekeken en als we ons beperken tot continue functies van R->R is de kardinaliteit blijkbaar wel gelijk aan |R|.
 
http://math.stackexchange.com/questions/477/cardinality-of-set-of-real-continuous-functions?rq=1
 
 Het argument dat ze daar geven is ook wel geinig. Elke continue functie is uniek bepaald door zijn waarden in de rationale punten, dus als we de functie beschouwen als een functie van Q->R kunnen we de functie associeren met een unieke deelverzameling van QxR met kardinaliteit |N|. De verzameling van al deze verzamelingen heeft dan kardinaliteit |R| en daarmee dus ook de kardinaliteit van alle continue functies van R->R.