[wiskunde] werken met euclidische deling

[Anonymous]

Laat a en b en c gehele getallen, q₁ en q₂ zijn de rest bij de deling van b op c en van a op q₁ in deze volgorde.

toon aan dat de rest bij deling van a op bc is gelijk aan q₂

k weet nu al dat er geldt

b=kc+ q₁

a=lq₁+ q₂

ik weet nu niet hoe ik moet aantonen dat

a=m.bc+ q₂

alvast bedankt

[Anonymous]

een vraagje :

we moesten ooit deze aantonen mbv getallenlijn:

als n een positief geheel getal is dan geldt:

n(n²-1) is deelbara door 3.

nu moeten we aantonen dat n(n²-1)=0 mod [3]

de moduloding is nog nieuw voor mij.. ik weet niet hoe ik dit moet aanpakken met de standaarde rekenregels van modulo.....help pleaZ?

[Brinx]

Ik heb niet veel kaas gegeten van het onderwerp van je eerste vraag, maar misschien kan ik van nut zijn bij de tweede. Als x deelbaar is door 3 (waarbij x een geheel getal is), dan wil dat zeggen dat x = k*3, waarbij k ook een geheel getal is. De rest is dus 0. Modulo heeft hiermee te maken. Als je zegt: x = 0 mod 3, dan bedoel je dat wanneer je x deelt door 3, je rest 0 overhoudt. x = 2 mod 3 betekent dat de rest van de deling x/3 dus 2 is, wat bijvoorbeeld het geval is wanneer x = 5, omdat x = 3*1 + 2.

Wanneer dus gesteld wordt dat n(n^2 - 1) = 0 mod 3, betekent dit gewoon dat het linkerlid (met n als positief geheel getal in dit geval) mooi deelbaar is door 3, met rest 0 dus. Je gaf al aan hoe je 'm opgelost had, hier is nog een maniertje met inductie:

Voor n = 1 klopt de vergelijking, namelijk 1*(1^2 - 1) = 0 mod 3. Niets aan de hand. Nu stellen we dat de vergelijking klopt voor een gegeven n, dus de stelling waarmee we beginnen is:

n(n^2 - 1) = 0 mod 3

Als we nu de vergelijking beschouwen voor (n+1) in plaats van n, dan krijgen we:

(n+1)*((n+1)^2 - 1) = 0 mod 3

(hierbij heb ik dus overal waar eerst 'n' stond 'n+1' ingevuld) En dus, uitgewerkt:

n^3 + 3n^2 + 2n = 0 mod 3

We hadden al n(n^2 - 1) = 0 mod 3, wat uitgeschreven hetzelfde is als:

n^3 - n = 0 mod 3.

Als we die vergelijking voor n+1 nu splitsen zien we dat:

(n^3 - n) + 3(n^2 + n) = 0 mod 3

Het eerste gedeelte tussen haakjes was 0 mod 3 volgens onze stelling, en het tweede gedeelte tussen haakjes is duidelijk deelbaar door 3. Wanneer de vergelijking klopt voor n, klopt hij dus ook voor n+1. Omdat de vergelijking klopte voor n = 1, klopt hij voor alle positieve gehele getallen. Ik weet niet of je hier wat aan hebt, maar alla. Excuses voor eventuele onvoldoende wiskundige striktheid in dit bewijs, trouwens - ik ben geen wiskundige. :/

[TD]

Ik heb het antwoord van Brinx niet helemaal nagelezen maar dit is inderdaad iets dat je per inductie kan bewijzen.

Wat je eerste vraag betreft, ofwel klopt je stelling niet ofwel snap ik'em niet, maar hoe ik'em interpreteer heb ik een tegenvoorbeeld.

Kan je dat eens nakijken of evt. verduidelijken?

[blaze]

een vraagje :  

we moesten ooit deze aantonen mbv getallenlijn:

als n een positief geheel getal is dan geldt:

n(n²-1) is deelbara door 3.

nu moeten we aantonen dat n(n²-1)=0 mod [3]

de moduloding is nog nieuw voor mij.. ik weet niet hoe ik dit moet aanpakken met de standaarde rekenregels van modulo.....help pleaZ?

kan ook korter:

n(n²-1) = n(n+1)(n-1)

dit zijn drie opeenvolgende gehele getallen, dus een ervan is zeker een drievoud. (als n+1 en n geen drievoud zijn [resp. 2 en 1 modulo 3], dan is n-1 een drievoud. enzoverder)

[Anonymous]

bedankt voor iedereen voor de uitleg!

wat betreft opg1, misschien klopt er inderdaad iets niet.. in ieder geval.. ik zal dat ff aan me leraar vragen zodra we weer les hebben..

thanx!

[Brinx]

Haha blaze, je hebt volkomen gelijk. Die manier is een stuk sneller.