[procestechniek] conversie geroerde tank in serie

[Miraculously]

Hallo,
 
Ik kom niet helemaal uit een vraag die ik aan het oplossen ben m.b.t. de conversie van een geroerde tank in serie, dit is de vraag:
 
Een zeker 1e orde reactie heeft een conversie van 80% in een geroerde tank. Men besluit de tank in twee gelijke delen op te delen en deze in serie met elkaar te schakelen. De totale verblijftijd blijft daarbij gelijk, maar per afzonderlijkte tank wordt dat natuurlijk de helft. Hoe groot wordt de conversie hierdoor?
 
Formules die ik heb:
 

\(c_1 = \frac{c_0}{1 + k \tau}\)

\( c_2 = \frac{c_1}{1+k\tau} = \frac{c_0}{(1+k\tau)^2}\)

\(Conversie = 1-\frac{c_1}{c_0}\)

 
En ik kom er nu niet helemaal uit hoe ik dit op moet lossen.. Zou iemand mij misschien een stapje in de goede richting kunnen geven?

[Marko]

Dat zijn inderdaad de juiste formules, maar die worden pas zinvol wanneer je weet wat de symbolen betekenen.
 
Dus laten we beginnen bij stap 1. Wat betekenen die c'tjes, de k en de τ in de formules?

[Miraculously]

τ staat voor de gemiddelde verblijftijd
k is de reactiesnelheidsconstante
de c'tjes staan voor een concentratie, waarbij c₀ de concentratie van binnenkomst van reactor 1 is, c₁de concentratie bij de uitgang van reactor 1 en bij de ingang van reactor 2 is en c₂ is dan de concentratie bij de uitgang van reactor 2.

[Marko]

Goed, dus je weet waar de verblijftijd en dergelijke in moet vullen.
 
Dan gaan we naar de gegevens kijken. Je hebt een vergelijking voor de conversie (die overigens geldt voor het geval met 1 tank, voor de nieuwe situatie moet je natuurlijk van c₂ gebruik maken, maar dat komt straks wel). En de conversie voor het geval met 1 tank is gegeven, 80%. Wat kun je hier nu mee uitrekenen?

[Miraculously]

Ik denk dat je hierop doelt:

\(conversie = 1 - \frac{c_1}{c_0}\)

 

\( 0,80 = 1 - \frac{c_1}{c_0}\)

\( 0,20 = \frac{c_1}{c_0}\)

 
Iets wat 0,20 geeft is bijvoorbeeld 1/5, dus stel dat: c₁ = 1 dan geldt c₀= 5 voor het geval met 1 tank.
 
Dus:

\( c_1 = \frac{c_0}{1 + k \tau} \)

\( 1 = \frac{5}{1 + k \tau} \)

\( 1(1 + k \tau) = 5 \)

\( 1 + k \tau = 5 \)

\( k \tau = 4 \)

[Marko]

Goed, nu weet je inderdaad het product van k en τ.
 
Kijken we nu naar de tweede situatie. Daarvoor is gegeven dat de verblijftijd half zo groot is geworden. Kun je daar nu iets mee?

[Miraculously]

Als je veronderstelt dat k in beide gevallen dezelfde waarde heeft zou je die dan mogen 'wegstrepen' uit de kτ = 4 zodat je krijgt τ_{situatie_2} = 2?
 
Waardoor:
 

\(c_2 = \frac{9}{3^2}\)

\(c_2 = 1\)

 

\(conversie = 1 - \frac{c_0}{c_2}\)

\(conversie = 1 - \frac{1}{9}\)

\(conversie = 0,89\)

 
Dit komt in ieder geval overeen met het antwoord dat ik zou moeten krijgen.

[Marko]

Niet τ voor situatie 2 maar k*τ voor die situatie. Dát is immers wat je in de nieuwe vergelijking in moet vullen (en wat je ook doet).
 
k blijft immers gelijk, die hangt alleen af van het type reactie. Als τ dus half zo groot wordt, wordt k*τ ook half zo groot. En als k*τ gelijk was aan 4, is het nu gelijk aan 2.
 
En dan is 1+k*τ inderdaad gelijk aan 3.
 
 
Algemene opmerking: Je rekent dit nu uit door getallen in te vullen, en daarmee verder te rekenen. Het is eleganter wanneer je de gegeven vergelijkingen zo omschrijft, dat duidelijk wordt dat er dingen tegen elkaar wegvallen.
 
Nemen we het eerste voorbeeld, dan staat daar een definitie van de conversie, met daarin c₁ en c₀.
Je kunt in die vergelijking de uitdrukking voor c₁ invullen, en dan zie je dat in teller en noemer dezelfde term c₀ staat, waardoor deze weggestreept kan worden.
Je houdt dan een vergelijking over voor de conversie als functie van (alleen) k en τ, waar je verder geen zelfverzonnen getallen meer bij nodig hebt.
 
Als je nog meer met procestechniek te maken gaat krijgen zou ik je willen aanraden om veel te oefenen met het omschrijven van vergelijkingen. Het maakt het oplossen van vraagstukken uiteindelijk een stuk makkelijker.

[Miraculously]

Oké, in ieder geval bedankt voor al je hulp het is mij een stuk duidelijker geworden!
 
Ik zou dus ook kunnen zeggen dat er voor een 1^e orde reactie met een x aantal tanks in serie een algemene formule geldt:

\(c_x = \frac{c_0}{(1 + k \tau)^x}\)

 
En dan is de conversie:

\(conversie = 1 - \frac{c_x}{c_0}\)

\(conversie = 1 - \frac{c_0}{(1 + k \tau)^x c_0}\)

\(conversie = 1 - \frac{1}{(1 + k \tau)^x}\)

 
Waardoor dus de conversie voor het geval van 2 tanks in serie op 89% uitkomt.
 
Ik moet zeggen dat die manier inderdaad een stuk makkelijker is en dat ik dat ook fijner vind dan met getallen rekenen.
 
Waarschijnlijk krijg ik nog wel flink wat procestechniek aangezien ik chemische technologie ga studeren.

[Marko]

Zo kun je dat inderdaad stellen. Wil je het helemaal netjes doen, dan gebruik je ook een unieke aanduiding voor de verblijftijd in elke situatie, dus niet alleen c_x maar ook τ_x
 
Dan noemt je de verblijftijd in het geval van 1 tank τ, en druk je de conversie uit als functie van k, τ en x.
 
Mooi dat je het op deze manier makkelijker vindt. Dat gaat je nog profijt opleveren.
 
Veel succes met de opleiding!