Cauchy rij

[gogeta]

laat (a_n) een rij met de volgende eigenschap:
 
|a_n+1-a_n| < k|a_n-a_n-1| voor alle n >1 met  0<k<1. Bewijs dat dit een Cauchy rij is.
 
Ik kom hier niet helemaal uit. Wat ik heb geprobeerd is dit:
 
we weten dat het volgende geldt:
 
|a_n+1-a_n| < k|a_n-a_n-1| < |a_n-a_n-1|      (omdat 0<k<1)
 
M.a.w. hoe verder we in die rij komen, hoe kleiner de afstand wordt tussen de termen. Alleen moeten we dat formeel opschrijven. We moeten nu aantonen dat het volgende geldt:
 
|a_m-a_n| < ε voor alle n, m > N (die N moeten we vinden)
 
verder laat ik m > n
 
|a_m-a_n|=|(a_m-a_m-1) + (a_m-1-a_m-2)+ ....+ (a_n+1-a_n)| ≤ |(a_m-a_m-1)| + |(a_m-1-a_m-2)|+ ....+ |(a_n+1-a_n)|       (1)
 
We weten nu:
 
|(a_m-a_m-1)| <|(a_m-1-a_m-2)|<...<|(a_n+1-a_n)|
 
Wat ik zou denken is om  nu elke term in (1) te vervangen door |(a_n+1-a_n)| (Dit is de grootste).
 
|(a_m-a_m-1)| + |(a_m-1-a_m-2)|+ ....+ |(a_n+1-a_n)| < |(a_n+1-a_n)|  + |(a_n+1-a_n)| + ...+ |(a_n+1-a_n)| = (m-n-1) |(a_n+1-a_n)|         (2)
 
Hoe gaan we die N in hemelsnaam vinden?
 
 
 
 

[Demophilus]

Een eerste tip, gebruik het sommatieteken, het zal je notatie hier heel wat vergemakelijken.
Dus je hebt al opgemerkt dat

\(|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n+1}^m |a_{k+1}-a_k| \)

.
Dat lijkt me zeker the way to go.
De richting die je verder inslaat lijkt me dan weer geen goed idee.
Je moet je uitdrukking kleiner dan epsilon maken voor eender welke m,n groter dan N. 
Dit lukt uiteraard nooit met die (m-n) die daar staat.
 
Een hint, pas die eigenschap van je rij herhaaldelijk toe op elke term in

\(\sum_{k=n+1}^m |a_{k+1}-a_k| \)

, dan zou je een familiaire uitdrukking moeten bekomen waar je mee kan werken.

[gogeta]

Ik heb m'n tactiek dit keer wat aangepast. We moeten sowieso wat met die k doen, want als k = 1 kunnen er dingen misgaan.
 
|a_m-a_n| ≤ |(a_m-a_m-1)| + |(a_m-1-a_m-2)|+ ....+ |(a_n+1-a_n)|
 
Laten we i.p.v  |(a_n+1-a_n)| een andere term nemen waarvan we ook weten dat deze groter is dan alle termen hierboven. Met het verschil tussen de eerste twee zit je per definitie goed:
 
|(a_m-a_m-1)| + |(a_m-1-a_m-2)|+ ....+ |(a_n+1-a_n)| < |a₂-a₁| (k^m-2+k^m-3+...+k^n-1)  < k^n-1|a₂-a₁|   (alle k-termen zijn positief)
 
 
Dan zou je nu kunnen zeggen dat we N zodanig kiezen dat er geldt:
 
k^N-1|a₂-a₁| < ε
 
 
 
 
 
 
 

[Demophilus]

|(a_m-a_m-1)| + |(a_m-1-a_m-2)|+ ....+ |(a_n+1-a_n)| < |a₂-a₁| (k^m-2+k^m-3+...+k^n-1)  < k^n-1|a₂-a₁|   (alle k-termen zijn positief)

 
Je hebt het bijna, maar dit klopt dan weer niet. Het kan niet dat

\(\sum_{l=n-1}^{m-2} k^{l} < k^{n-1} \)

.
Denk eens na over een simpelere uitdrukking voor

\( \sum_{l=0}^n k^l \)

, hieruit kan je dan een eenvoudige uitdrukking voor

\(\sum_{l=n-1}^{m-2} k^{l}\)

afleiden en dan heb je het.

[gogeta]

 
Je hebt het bijna, maar dit klopt dan weer niet. Het kan niet dat

\(\sum_{l=n-1}^{m-2} k^{l} < k^{n-1} \)

.
Denk eens na over een simpelere uitdrukking voor

\( \sum_{l=0}^n k^l \)

, hieruit kan je dan een eenvoudige uitdrukking voor

\(\sum_{l=n-1}^{m-2} k^{l}\)

afleiden en dan heb je het.

 
Je hebt gelijk. het is een sommatie. je kunt al die k-termen door  k^n-1  gaan vervangen, maar je krijgt dan wel weer een vervelende factor met m.
Waar jij op doelt is de "geometric series". We hadden:
 
 

Wiskdune1 1037 keer bekeken

[Demophilus]

Inderdaad, dat bedoelde ik.

Heb je je bewijs nu kunnen afronden?

[gogeta]

Inderdaad, dat bedoelde ik.

Heb je je bewijs nu kunnen afronden?

 
Ja, en zonder jou was dat niet gelukt. Hartelijk dank voor uw tijd en moeite.

[Demophilus]

Dat is graag gedaan!