Doorsnede vlak en kwadriek

[tommienator]

Goedemiddag,
 
Ik heb een vraagje.. Ben momenteel een oefening aan het maken voor kritische punten te bepalen voor een functie(x, y, z) onderheven aan 2 restricties (via lambda methode).
Nu, het stelsel dat ik uitkom is nog al vrij heftig om uit te werken. Matlab kan het doen, maar goed.. Daar ben ik op het examen niets mee.
 
Het gaat als volgt: bepaald de extreme waarde voor een functie f(x, y, z) op de cirkel die de doorsnede is van het vlak x+y+Z = 0 en de bol x^2 + y^2 + z^2 = 24 (zie plotje matlab)
Nu, wat ik als alternatieve methode wou berekenen was de vergelijking van die cirkel te zoeken. Om dan het op te kunnen lossen niet met 2 maar met 1 onbekende in de hulpfunctie.
 
Hier zit ik dus vast, kan iemand mij verder helpen hoe ik de vergelijking van de cirkel kan bepalen?

[Demophilus]

\(z = -y -x\)

invullen in de vergelijking van de bol geeft je natuurlijk de vergelijking van die cirkel. Eenvoudiger zal dit het niet maken vrees ik.
Wat is die functie f precies?

[tommienator]

Bedankt voor het antwoord, maar dit had ik al gedaan.. Maar dan krijg ik geen vergelijking van een cirkel maar 1 van een ellips.

Het betreft om de volgende opgave:
de functie f(x,y,z) = x*y + z^2 bereikt een maximum en minimum waarde op de cirkel die de doorsnede is van het vlak x + y + z = 0 met het boloppervlak x^2 + y^2 + z^2 = 24
 
Wat ik dus eerst gedaan had was via de lambda methode een hulpfunctie opgezet F(x, y, z, lamba1, lambda2) = x*y + z^2 + lambda1(x + y + z) + lambda2(x^2 + y^2 + z^2 - 24)
 
Maar zoals je zelf kan zien als je dat partieel afleid naar x, y, z, lambda1, lambda 2 kom je een stelsel van 5vgl uit en 5 onbekende.. En helaas is er zo nu niet 1 vgl die meteen de uitkomst geeft (op het eerste zicht gezien) van 1 van de onbekende... Waardoor ik gewoon het op een andere methode probeerde omdat het uiteraard altijd heel wat tijdsverlies is om stelsel manueel met de hand uit te werken

[Demophilus]

Bedankt voor het antwoord, maar dit had ik al gedaan.. Maar dan krijg ik geen vergelijking van een cirkel maar 1 van een ellips.

In het vlak x+y+z=0, ligt een cirkel. Natuurlijk als je die cirkel projecteert op het x-y vlak (zoals je net deed) is dat een ellips.
Als je per se een vergelijking van een cirkel wil bekomen, kan je de (x,y,z) coördinaten roteren zodat het vlak x+y+z=0 gelijk is aan het (x',y') vlak ofzo met (x',y',z') je coördinaten na rotatie. Maar dat zal je niet veel helpen.
 

Maar zoals je zelf kan zien als je dat partieel afleid naar x, y, z, lambda1, lambda 2 kom je een stelsel van 5vgl uit en 5 onbekende.. En helaas is er zo nu niet 1 vgl die meteen de uitkomst geeft (op het eerste zicht gezien) van 1 van de onbekende... Waardoor ik gewoon het op een andere methode probeerde  .

 
Toch lijkt me dit de beste methode. Probeer één voor één de vergelijking te elimineren, dus schrijf bv. y=-x-z en vul dit in in elke vergelijking.
Verder zie je dan bijvoorbeeld

\( z= \lambda_1 + x(2\lambda_2-1)\)

en vul dit dan weer in in elke vergelijking. Uiteindelijk zal je het wel vinden, gewoon even doorbijten.

[tommienator]

Oké, goed.. Ik ga er even op doorbijten en zien of ik tot een oplossing kan komen .

[Safe]

Laat eens zien wat je tot nu toe hebt opgeschreven ...

[tommienator]

Ik denk eerlijk gezegd dat ik vrij hard de mist in aan het gaan ben...
Dit is dus wat ik uitkom voor x, y en z...

[Safe]

Tel de verg 1,2 en 3 eens op ...

[tommienator]

Ja, mijn ordening is niet 100% goed.. Welke vergelijking 1, 2 en 3 bedoel je? De bovenste of ...?

[Safe]

Waar jij (zelf) 1, 2 en 3 hebt staan ... (de bovenste dus)