Oppervlakte en Omtrek

[gallo]

Goedendag allemaal,
 
Wanneer je de oppervlakte van een vierkant 1 noemt is de omtrek groter dan het oppervlakte, wanneer je de oppervlakte van een vierkant 100 noemt is de omtrek kleiner dan het oppervlakte.
 
Dus was ik benieuwd waar de grens ligt, en voor welke waarde er geldt oppervlakte = omtrek.
 
Bij een vierkant kom je dan uit op een oppervlakte van 16 (= 4 x 4)
 
Bij een polygoon met oneindig veel hoeken (een cirkel) is de waarde gelijk aan 4 x pi.
 
Alle andere polygonen zijn lastig te bepalen. Maar dat is niet mijn vraag. De vraag is: is bij andere polygonen überhaupt sprake van een vaste en bepaalbare waarde? Of krijg je per definitie te maken met wortels en verhoudingen en valt de exacte waarde daar niet simpelweg uit te schrijven als een getal?

 
m.a.w: moet ik de andere waarden scharen onder de categorie van de cirkel, waarden dus waarvan je het getal niet helemaal uit kunt schrijven.
OF moet ik de andere waarden scharen onder de categorie van het vierkant, waarden dus waarvan je het getal wel helemaal uit kunt schrijven.
of is de categorie afhankelijk van het exacte aantal hoeken?

[Th.B]

Dat is een zinloze vraag... je kunt appels niet met peren vergelijken. Je kan niet zeggen: 'de omtrek is groter dan het oppervlak' of zoiets.

[gallo]

Eens. Maar je kunt wel zeggen dat er een specifieke waarde is voor het oppervlakte (of omtrek) waarbij de waarde van de omtrek (of oppervlakte) hieraan precies gelijk is. Los van het feit dat zo'n waarde twee verschillende zaken voorstelt (waartussen wel weer een verband is), is er voor elke veelhoek wel slechts 1 specifieke waarde waarvoor die gelijkheid geldt. M'n vraag is dan in welke categorie ik die gelijkheid moet schalen.
 
Overigens, ik zie net dat hoewel de waarden vrij moeilijk te bepalen zijn, de figuren met aantal hoeken deelbaar door 2 wel vrij makkelijk te construeren zijn omdat ze precies overlappen met het genoemde vierkant. dat is toch wel opmerkelijk...

[NicoW]

Je moet je vraag op een meer wiskundige manier stellen. Dan vind je gemakkelijk de oplossing.
Bij dat vierkant is dat de vraag welke eenheid (x) je moet nemen opdat 4x=x².
 
Waarschijnlijk zit jouw probleem hierin: probeer te begrijpen dat scalair * eenheid = grootheid.
Of anders gezegd: lengte (=grootheid) is een aantal (=scalair) meter (=eenheid).

[gallo]

Het is een beetje jammer dat je alleen een 'vind ik Ok' knop heb en niet een 'vind ik niet ok' knop want dit soort antwoorden maakt me nogal chagerijnig.
 
Je komt met een formule voor iets dat ik al lang berekend heb en beantwoord verder niets van m'n vragen. En wat je allemaal zegt over meters en grootheden is volgens mij ook helemaal niet van toepassing het gaat er niet om of het meters of centimeters zijn. Het gaat om de gekozen waarden en de specifieke waarde die het verband tussen omtrek en oppervlak karakteriseert. 
 
***MODKNIP***

[NicoW]

Hoi Gallo. Bij wetenschap gaat het er niet om dat je laat zien dat je slim bent. Nee, je laat iets zien, wat ook door een ander is na te trekken. Dat is een van de grondbeginselen van wetenschap.
 
Jouw vraag is voor mij superduidelijk en je zit gewoon op een verkeerd spoor. Joh, slaap er eens een nachtje over, dan zie je misschien hoe simpel het in feite is.
Verder een tip: verdiep je eens in de boeiende geschiedenis van het Metrieke Stelsel / het SI.

[gallo]

***MODKNIP*** 
 
Er viel me nog iets op namelijk dat alle veelhoeken dezelfde eerder genoemde cirkel omschrijven.
 
hoe zit dit precies? wat is hier de logische verklaring voor? is het eigenlijk al bekend (vast wel)?

 

[Professor Puntje]

Zowel de oppervlakte als de omtrek liggen vast zodra je een eenheidslengte hebt gekozen. Dat is de gebruikelijke volgorde: kies eerst een eenheidslengte en bereken daarna pas oppervlaktes en omtrekken.
 
Als je van die volgorde wilt afwijken moet je behoedzaam opereren om verwarring en paradoxen te voorkomen. Door een zekere oppervlakte 100 te noemen kies je een eigen oppervlaktemaat. Dat mag wel, maar dan moet je daar ook een eigen naampje aan geven. Bovendien moet het duidelijk zijn of het een fysische oppervlaktemaat is, of een zuiver geometrische.
 
Kun je mij daar eerst helderheid over verschaffen?

[gallo]

het betreft puur het geometrische aspect waar ik naar kijk, er is geen binding met het fysieke als in dat ik het ergens in de wereld om me heen tegenkom, behalve dan natuurlijk bij het tekenen van cirkels en veelhoeken. verschaft dat duidelijkheid?

 
Maar ik zal het anders omschrijven, het probleem iets verleggen, vergeet m'n eerder gestelde vragen maar even, mijn probleem zit hem nu in het volgende:
 
Neem een cirkel met straal = 2.
 
Is het bekend dat voor alle veelhoeken die die cirkel omschrijven de berekende waarde van het oppervlakte gelijk is aan de berekende waarde van de omtrek?
 

 

[Professor Puntje]

Maar ik zal het anders omschrijven, het probleem iets verleggen, vergeet m'n eerder gestelde vragen maar even, mijn probleem zit hem nu in het volgende:
 
Neem een cirkel met straal = 2.
 
Is het bekend dat voor alle veelhoeken die die cirkel omschrijven de berekende waarde van het oppervlakte gelijk is aan de berekende waarde van de omtrek?

 
Dat is in elk geval een duidelijke vraag. Eén puntje nog: mogen de omschreven veelhoeken ook onregelmatig zijn?

[gallo]

Vooralsnog niet. Ik heb het in eerste instantie over regelmatige veelhoeken. Heb nog niet naar onregelmatigen gekeken maar k schat in dat het daar niet geldt.

[Professor Puntje]

http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html
 
Daar staan een hele boel formules. Ik zou eerst eens wat gevallen uitproberen om te zien of je vermoeden steeds op gaat. Als dat zo is, kunnen we zien of er ook iets te bewijzen valt.

[gallo]

Ik heb er al een stuk of 10 geprobeerd daarvoor werkt het, ook voor bijvoorbeeld 100 hoeken, dus het lijkt me wel aannemelijk dat het waar is.
 
Bewijzen moet denk ik ook wel mogelijk zijn door de polygonen op te delen in driehoeken met hoogte 2.
 
Maar ik hoopte eigenlijk dat een of andere wiskundige hier al eens tegenaangelopen was zodat ik het bewijs niet zelf hoef te produceren en gewoon kan kijken waarom het zo is.

 

[Professor Puntje]

Als je vermoeden klopt is dat inderdaad zo goed als zeker binnen de meetkunde ook al bekend. Dat wordt dan zoeken, of misschien heeft iemand hier die stelling al paraat?

[Professor Puntje]

Bewijzen moet denk ik ook wel mogelijk zijn door de polygonen op te delen in driehoeken met hoogte 2.

 
Laat ons zien:
 
Een regelmatige n-hoek bestaat uit n gelijkbenige driehoeken met basis z (is één zijde van de regelmatige n-hoek) en hoogte r (is de straal van de ingeschreven cirkel, en dus hier gelijk aan 2). Dus hebben we voor de omtrek O:
 
O = n.z .
 
En voor de oppervlakte A:
 
A = n . (1/2 . z . r) = n . (1/2 . z . 2) = n.z .
 
Dus: O = A .
 
 
En daar hebben we de "stelling van gallo".