Waarschijnlijke plek van een foton?

[entropy]

Ik ben niet erg geleerd op het gebied van QM, vandaar dat ik deze vraag stel.
 
Ik heb begrepen dat fotonen 'golven' zijn, en dat hun plaats in de ruimte beschreven wordt door waarschijnlijke plekken beschreven door de Schrödinger vergelijking.
 
Dit combinerend, stel ik me voor dat er plekken zijn waar de fotonen waarschijnlijk niet zijn, en plekken waar ze waarschijnlijk wel zijn.
 
Ik stel me zo voor dat deze waarschijnlijkheidsverdeling beschreven wordt door een golf. Als ik ervan uitga dat wat ik hier schrijf (ongeveer) juist is, dan rijst bij mij de vraag: hoe ziet de amplitude van deze 'golf' eruit uitgemeten naar de ruimte? Is er een plek waar de waarschijnlijkheid dat het foton er zich bevindt het grootst is? Zijn de overige plekken minder waarschijnlijk? En hoe ziet die verdeling eruit?

[fractal]

Ik stel me zo voor dat deze waarschijnlijkheidsverdeling beschreven wordt door een golf. Als ik ervan uitga dat wat ik hier schrijf (ongeveer) juist is, dan rijst bij mij de vraag: hoe ziet de amplitude van deze 'golf' eruit uitgemeten naar de ruimte? Is er een plek waar de waarschijnlijkheid dat het foton er zich bevindt het grootst is? Zijn de overige plekken minder waarschijnlijk? En hoe ziet die verdeling eruit?
 

 
Ten eerste, de quantummechanica is een wiskundig model van een fenomeen wat men eigenlijk totaal niet begrijpt. De schrodinger vergelijking kan niet afgeleid worden.
 
Een deeltje kan beschreven worden met een complexe golffunctie. De golffunctie wordt met de griekse letter

\( \psi \)

(kleine letter psi) aangegeven. De vorm van een mogelijke golffunctie voor een 1-dimensionale ruimte is:

\( \psi (x) = e^{i(kx-\omega t)} \)

waar geldt dat

\( \omega = \frac{E}{\hbar} \)

en

\( k = \frac{p}{\hbar} \)

. In deze vergelijkingen zijn

\( E \)

en

\( p \)

energie en impuls. Volgens de formule van Euler kan de golffunctie worden herschreven naar:

\( \psi (x) = cos(kx-\omega t) + i*sin(kx-\omega t) \)

.
 
Om het gemakkelijk te maken plotten we enkel

\( \Re(\psi (x)) \)

van een golffunctie. Dus:

\( \Re(\psi (x)) = cos(kx-\omega t)\)

  Zo'n functie zou er dus zo uit kunnen zien:
 

golffunctie 1014 keer bekeken

 
Je kan het impuls van het deeltje vinden door de relatie van De Broglie.

\( p= \frac{h}{\lambda} \)

Bij de bovenstaande grafiek is er een goed gedefinieerde golflengte, we kunnen dus met grote zekerheid het impuls vaststellen.
 
De waarschijnlijkheidsverdeling vind je door de absolute waarden van de functie te kwadrateren. Dus:

\( |\psi (x)|^2 \)

In het geval van de bovenstaande grafiek krijg je:
 

waarschijnlijkheidsverdeling 1023 keer bekeken

 
Hier zien we verschillende pieken, de amplitude geeft aan hoe waarschijnlijk het is om het deeltje daar te vinden.
In dit geval kan het deeltje eigenlijk op heel veel plekken zijn. We weten eigenlijk niet waar het deeltje is, het kan immers overal zijn.
 
Kortom, wanneer we het impuls van het deeltje zeker weten, hebben we geen informatie meer over waar het deeltje zich bevindt. Dit geldt ook andersom; als we zeker weten waar het deeltje zich bevindt, kunnen we niet meer met voldoende zekerheid zeggen wat het impuls van het deeltje is.
Dit heeft Werner Heisenberg geformuleerd als:

\( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \)

De onzekerheidsrelatie van Heisenberg beschrijft de onzekerheid van een deeltje. We kunnen dus niet alle eigenschappen tegelijkertijd van een deeltje weten.

[entropy]

Fractal, bedankt voor je uitleg. Moet je niet

\(\psi (x,t)\)

gebruiken?

[fractal]

Klopt, in dit geval zijn beide parameters van de golffunctie.

(Ik kan mijn bericht helaas niet meer aanpassen, dus ik laat het staan)