[wiskunde] integraal uitrekenen

[gast017]

Beste
 
Ik zit al enige tijd vast bij een oefening. Het probleem zit bij het feit dat ik een integraal heb opgesteld die ik niet direct kan uitrekenen. Via substitutie heb ik het ook al geprobeerd, maar dit kwam dan niet uit.
 
Hoe moet ik verder met deze integraal?
 

Screen Shot 2016-12-20 at 12 751 keer bekeken

 
Alvast bedankt!
 

[Tim2016]

Goniometrische substitutie en partieel integratie, zijn mss mogelijkheden

[gast017]

Goniometrische substitutie en partieel integratie, zijn mss mogelijkheden

Dan zit ik toch met een goniometrische functie in de macht van e?

[tempelier]

Dan zit ik toch met een goniometrische functie in de macht van e?

Dat klopt maar die kan door een tweede substitutie weer verdwijnen.
 
Probeer eerst eens de wortel kwijt te raken door een geschikte substitutie met de sinus

[TD]

Ben je zeker dat je de integraal correct hebt opgesteld? Anders moet je misschien even de context schetsen, waar komt de integraal vandaan?
 
En als de integraal correct is opgesteld, is het wel de bedoeling dat je de integraal 'manueel' (en exact) kan uitrekenen?

[Back2Basics]

Het valt me op dat de ondergrens groter is dan de bovengrens. Is er nu op een slimme plaats een - (min) te introduceren?

[gast017]

Ben je zeker dat je de integraal correct hebt opgesteld? Anders moet je misschien even de context schetsen, waar komt de integraal vandaan?
 
En als de integraal correct is opgesteld, is het wel de bedoeling dat je de integraal 'manueel' (en exact) kan uitrekenen?

De vraag is: Bepaal de kringintegraal van (xe^{-y^2}dx+ x²y²dy) waarbij C de gesloten kromme is rond het gebied in het eerste kwadrant die omgeven wordt door de x-as, de cirkel x² + y² = 2 en y² = x.
 
Hier mijn uitwerking (deze is dus niet afgewerkt omdat ik niet zie hoe ik de eerste integraal kan oplossen):

[gast017]

Het valt me op dat de ondergrens groter is dan de bovengrens. Is er nu op een slimme plaats een - (min) te introduceren?

Ik dacht dat die boven- en ondergrens niet zoveel uitmaakten, als ik deze in m'n primitieve functie steek krijg ik toch dezelfde oplossing?

[TD]

Je stelt voor BC twee parametrisaties voor en het is me niet helemaal duidelijk waarom of met welke je dan verder gaat.
 
Om de exponent in de e-macht gemakkelijk te houden, lijkt volgende parametrisatie handig:
 

\(\left\{\begin{array}{ccl}x&=&\sqrt{2-t^2}\\y&=&t\end{array}\right.\quad (0\le t\le 1)\)

 
Volgens mij vergeet je 'dx' en 'dy' ook in functie van t te bepalen, je kan die niet zomaar vervangen door 'dt'. Met bovenstaande parametrisatie krijg je:
 

\(xe^{-y^2}dx+x^2y^2dy\to\sqrt{2-t^2}e^{-t^2}d\left(\sqrt{2-t^2}\right)+(2-t^2)t^2dt\)

 
En dat komt goed uit want door de afgeleide van de vierkantswortel, valt die andere vierkantswortel weg:
 

\(-te^{-t^2}dt+(2-t^2)t^2dt\)

 
Je moet dus deze integraal berekenen:
 

\(\int_0^1-te^{-t^2}+(2-t^2)t^2\,dt\)

 
Het eerste stuk kan via u = -t² en het tweede is gewoon een veelterm.

Het valt me op dat de ondergrens groter is dan de bovengrens. Is er nu op een slimme plaats een - (min) te introduceren?

 

Ik dacht dat die boven- en ondergrens niet zoveel uitmaakten, als ik deze in m'n primitieve functie steek krijg ik toch dezelfde oplossing?

 
Het verwisselen van de grenzen zorgt voor een minteken, maar de integraal wordt er dus niet makkelijker of moeilijker door:
 

\(\int_1^0\ldots = -\int_0^1\ldots\)

[gast017]

Je stelt voor BC twee parametrisaties voor en het is me niet helemaal duidelijk waarom of met welke je dan verder gaat.
 
Om de exponent in de e-macht gemakkelijk te houden, lijkt volgende parametrisatie handig:
 

\(\left\{\begin{array}{ccl}x&=&\sqrt{2-t^2}\\y&=&t\end{array}\right.\quad (0\le t\le 1)\)

 
Volgens mij vergeet je 'dx' en 'dy' ook in functie van t te bepalen, je kan die niet zomaar vervangen door 'dt'. Met bovenstaande parametrisatie krijg je:
 

\(xe^{-y^2}dx+x^2y^2dy\to\sqrt{2-t^2}e^{-t^2}d\left(\sqrt{2-t^2}\right)+(2-t^2)t^2dt\)

 
En dat komt goed uit want door de afgeleide van de vierkantswortel, valt die andere vierkantswortel weg:
 

\(-te^{-t^2}dt+(2-t^2)t^2dt\)

 
Je moet dus deze integraal berekenen:
 

\(\int_0^1-te^{-t^2}+(2-t^2)t^2\,dt\)

 
Het eerste stuk kan via u = -t² en het tweede is gewoon een veelterm.

Oh, ja inderdaad! Domme fout van mij. Ik ben inderdaad verdergegaan met de vorm waarbij x = vkw(2-t²), maar de fout zat 'm inderdaad bij mijn dx en dy. Bedankt om dit eens uit te werken!

[TD]

Oh, ja inderdaad! Domme fout van mij. Ik ben inderdaad verdergegaan met de vorm waarbij x = vkw(2-t²), maar de fout zat 'm inderdaad bij mijn dx en dy. Bedankt om dit eens uit te werken!

 
Graag gedaan. Als je de <a data-ipb="nomediaparse" data-cke-saved-href="https://en.wikipedia.org/wiki/Green"href="https://en.wikipedia.org/wiki/Green" s_theorem"="">stelling van Green al gezien hebt, zou je die ook kunnen gebruiken voor deze opgave.

[gast017]

Daar had ik ook al aan gedacht, maar dacht dat de methode via parametervergelijkingen makkelijker ging zijn!

[TD]

Ik heb het niet nagerekend dus het is niet noodzakelijk sneller of gemakkelijker, maar omdat je kromme hier sowieso in drie stukken gesplitst moet worden, kan het de moeite zijn om na te gaan of het via Green niet eenvoudiger kan. In elk geval is het een goede oefeningen om het op beide manieren te doen en te verifiëren of je hetzelfde vindt.