Het onmeetbare getal

[Peter van Velzen]

Nogmaals professor Puntje,
 
Als ik mijn eigen bewering bekritiseer op grond van mijn eigen overwegingen (en die van Schuh), wil dat niet zeggen dat ik kritiek van anderen negeer. Het wil slechts zeggen dat ik een verhaal te vertellen heb, dat niet op grond van die kritiek is ontstaan. U zult kunnen vaststellen dat ik alle vragen die aan mij gesteld zijn inmiddels behandeld hebt. Hel is het mogelijk dat ik er een over het hoofd heb gezien, maar als u mij daarop attent maakt, zal ik dat dan graag herstellen.
 
Ik moet er werkelijk bij u op aandringen om uw neiging tot ad hominems in toom te houden.
Ik doe mijn uiterste best, maar ik ben uiteraard een feilbaar mens.

[Peter van Velzen]

Nogmaals Tempelier
 
IIn elke oneindige verzameling wordt elk element gevolgd door een ander element. Als dat niet zo is, dan zou dat element immers het laatste zijn, en dat is nu precies wat voor een oneindige verzameling niet kan. UIt mijn overwegingen van de voorgaande nacht volgt wel dat we soms niet in staat zijn te concluderen dat er een specifiek volgend element is, omdat tussen elke twee elementen nog oneindig veel andere elementen liggen. Als dat een reden  is om een bepaalde eigenschap ongeldig te maken zal ik ook daar mee instemmen, Maar is zie vooralsnog niet in dat de aanwezigheid van oneindig veel ratnionele getallen tussen twee irrationele getallen in, het waarschijnlijker maakt dat er meer irrationele getallen zijn dan rationele getallen.
 
UIteraard kan ik me vergissen en kun je me wellicht uitleggen waarom dit een vergissing is.

[tempelier]

 
IIn elke oneindige verzameling wordt elk element gevolgd door een ander element.

Dat is gewoon niet waar dus.
 
Dat is al zo bij de verzameling van de positieve breuken.
 
Noem maar eens op dan wat de opvolger is van 1/2.
 
PS.
Dat het niet waar is wat je beweert volgt uit een bewijs van het ongerijmde.

[Professor Puntje]

@ Peter van Velzen
 
Voor zover je betogen ergens op slaan is het constructivistische wiskunde. De rest bestaat uit beweringen die simpelweg niet kloppen en uit onsamenhangend gefantaseer. Het is a priori ook uiterst onwaarschijnlijk dat iemand met een gebrekkige kennis van de wiskunde en logica (zoals uit je berichtjes ook bij jou het geval blijkt te zijn) op eigen kracht een nieuw en deugdelijk alternatief voor de reguliere wiskunde zou kunnen bedenken. Dat is echter wel wat je hier probeert. Veel verstandiger dan hier zelf opnieuw het wiel uit te vinden is het om eerst eens de constructivistische wiskunde te bestuderen die al allang bestaat. Nu maak je enkele een tak van wiskunde belachelijk die je je verbeeldt te verdedigen.
 
Verder is op een Wetenschapsforum kritiek op een onwetenschappelijk aanpak geen ad hominem, net zo min als kritiek op gestuntel met een bal op een voetbalveld een ad hominem is. Dat had je kennelijk ook zelf wel door want je hebt inmiddels wel op de kritiek geantwoord.

[EvilBro]

Definieer twee verzamelingen:

\(A = \{a \in \qq : a < 0 \lor a^2 < 2 \}\)

\(B = \{b \in \qq : b > 0 \land b^2 > 2 \}\)

Merk op dat verzameling A geen hoogste getal heeft. Merk ook op dat verzameling B geen laagste getal heeft. Merk ook op dat er geen enkel rationaal getal mist (er is immers geen rationaal getal waarvan het kwadraat 2 is).

Definieer een derde verzameling:

\(C = \{c \in B : c^2 < 3 \}\)

Merk op dat C zowel geen laagste als hoogste getal heeft.

Verhuis alle getallen die in de verzameling C voorkomen van B naar A. De nieuw verkregen verzamelingen zijn equivalent met:

\(A' = \{a \in \qq : a < 0 \lor a^2 < 3 \}\)

\(B' = \{b \in \qq : b > 0 \land b^2 > 3 \}\)

Merk op dat verzameling A' geen hoogste getal heeft. Merk ook op dat verzameling B' geen laagste getal heeft. Merk ook op dat er geen enkel rationaal getal mist (er is immers geen rationaal getal waarvan het kwadraat 3 is).

Hiermee kunnen we nu de volgende uitspraak een waarde-oordeel toekennen.

Door getallen te verhuizen van de ene klasse naar de andere kan men allen Dedekindsnedes verkrijgen die een meetbaar getal definiëren en nooit een Dedekindsnede die een onmeetbaar(=irrationeel) getal definiëert. Dit is óók het geval indien men met een snede (d_i) begint die zelf wél een onmeetbaar getal definieërt! (probeer het in gedachten maar eens uit). Wat men ook verhuist, het bevat áltijd een hoogste dan wel een laagste getal en het resultaat is een Dedekindsnede welke een meetbaar(=rationeel) getal definiëert.

[Peter van Velzen]

Tempelier.
 
Er is geen laagste rationeel getal dat direct volgt op ½.  Er zijn wel heel veel rationele getallen die na ½ komen. (0,51; 0,501; 0,5001 etcetera) Desalniettemin beweert ook Schuh dat er tenminste twee rationele getallen liggen tussen elke twee irrationele getallen. Wellicht is dat dus niet (helemaal) waar. Dit is overigens niet zozeer een eigenschap van een oneindig aantal (het is immers niet waar voor de natuurlijke getallen), maar een eigenschap van een oneindige opsplitsing.
 
Maar je hebt dus gelijk, dat er – volgens de theorie – verzamelingen zijn waarbinnen een element niet direct wordt gevolgd door een specifiek ander element.
 
Terug bij mijn oorspronkelijke bewering:

Als de eigenschappen van een eindige verzameling niet gelden voor een oneindige verzameling, welke eigenschappen zijn dat dan? Medunkt dat het niet de eigenschappen kunnen zijn die voor elk individueel element of voor elke twee opeenvolgende elementen van de verzameling gelden.

Dit is formeel niet in strijd met jouw terechte opmerking dat er in sommige verzamelingen niet twee opeenvolgende elementen te vinden zijn. Als er geen twee opeenvolgende elementen zijn, dan zijn er ook geen eigenschappen die daarvoor gelden. Ondertussen heb je mijn vraag niet beantwoord: “Welke eigenschappen zijn dat dan?” Je beweerde:
 

Jij zondigt daar tegen door bewezen? eigenschappen binnen een eindige verzameling van toepassing te verklaren op een oneindige.Als je niet begrijpt dat dat niet mag, ja dan houdt het gewoon op.

 
Ik wil eigenlijk weten welke eigenschap (binnen een eindige verzameling) ik volgens jou van toepassing verklaar op een oneindige verzameling, terwijl dat niet zou mogen. Ik ben me er namelijk niet van bewust dat ik dat gedaan heb. Als ik een denkfout heb gemaakt, dan wil ik uiteraard graag weten welke dat precies is. Dat voorkomt dat ik die fout in het vervolg blijf maken.
 
 
Professor puntje:
 
U schreef eerder:
 

Deze twee zinnen maken duidelijk dat je niet in een wezenlijke discussie geïnteresseerd bent. Je gaat te werk als een politicus in verkiezingstijd: dus stug je eigen standpunt naar voren blijven brengen, en weerleggingen en kritiek ontwijken of negeren.

 
Dat is iets anders dan kritiek op een onwetenschappelijke aanpak. Dat is het toekennen van intenties en een aanval op mijn integriteit. Ik bracht met het posten van mijn nachtelijke overwegingen helemaal geen standpunt naar voren. En zoals u inmiddels hebt kunnen waarnemen, doe ik mijn best op kritiek in te gaan.
 
Ik probeer ook helemaal niet een nieuw en deugdelijk alternatief voor de wiskunde te bedenken. Noch probeer ik een tak van de wiskunde te verdedigen. Ik probeer alleen om logisch na te denken over de implicaties van de door Schuh beschreven theorie, en verwonder me daarbij over de logische consequenties die zij – volgens mij – heeft.
 
 
Dat ik slechts beperkte kennis heb van de wiskunde geef ik grif toe. U hebt echter nergens aangetoond dat het mij aan logica ontbreekt. Als u logica-fouten in een van mijn berichten hebt geconstateerd. Verzoek ik u beleefd deze aan te tonen. En niet zonder concrete argumentatie te beweren dat het mij aan kennis van de logica schort.
 
 
Evilbro
 
Wederom degene die serieus op mijn gedachten ingaat en met een concreet argument komt. Mijn veronderstelling dat het niet mogelijk is om een Dedekindsnede die een onmeetbaar getal definiëert door het verhuizen van rationele getallen van de hoge naar de lage klasse om te zetten blijkt dus niet te kloppen. Mijn fantasie schoot weer eens te kort. Bedankt voor dit voorbeeld.
 
Het blijkt dus wel te kunnen indien met tevoren weet welk onmeetbaar getal men wil bereiken. (in het voorbeeld de vierkantswortel uit 3). Dit doet mij echter vermoeden dat het betreffende onmeetbare getal niet wordt gedefiniëerd door de Dedekindsnede, maar dat de betreffende Dedekindsnede wordt gedefiniëerd door een onmeetbaar getal.
 
Er zijn ook onmeetbare getallen waarvan men een (eindig) aantal elementen van de fundamentaal(of Cauchy)rij kan berekenen door bij de reeds bekende elementen van een bestaande fundamentaalrij een rationeel getal op te tellen, of die elementen met een rationeel getal te vermenigvuldigen. Wellicht kan men ook hiervoor een verzameling rationale getallen beschrijven welke men op dezelfde manier van de hoge naar de lage klasse van een Dedekindsnede kan verhuizen teneinde het nieuwe onmeetbare  getal te verkrijgen?
 
Uitgaande van het voorbeeld

\(C = \{c \in B : (c-2)^2 < 2 \}\)

 
Dit moet m.i. het onmeetbare getal opleveren dat gelijk is aan wortel 2 + 2.
 
Ik weet niet of dit soort manipulaties ook kan met transcedente getallen zoals π.

[Professor Puntje]

Ik probeer ook helemaal niet een nieuw en deugdelijk alternatief voor de wiskunde te bedenken. Noch probeer ik een tak van de wiskunde te verdedigen. Ik probeer alleen om logisch na te denken over de implicaties van de door Schuh beschreven theorie, en verwonder me daarbij over de logische consequenties die zij – volgens mij – heeft.

 

Geen sprake van! Je was er al van tevoren van overtuigd dat het leerboek van Schuh niet kon kloppen: de reguliere theorie van het reële getal waarin er sprake is van overaftelbaar oneindig veel reële getallen deugt volgens jou immers niet. Zo schreef je vorig jaar:

 

Ik weet dat de meeste wiskundigen geloven in oneindige verzamelingen maar ik spreek dan liever over een categorie of een reeks. Dan weet ik dat ik niet hoef te proberen om ze te tellen. Het is erg lastig om te werken met ideeën waarin je zelf niet gelooft.

 

En dat is het hele eieren eten. Je gelooft er niet in! En daarom streef je er hier naar de onjuistheid van de reguliere wiskunde aan te tonen. Schuh kan zijn theorie zo precies uitwerken als hij maar wil (en preciezer dan het bewuste boek gaat welhaast niet), maar omdat het naar jouw geloof niet mag kloppen zul je eindeloos blijven zoeken naar vermeende gebreken.

 

Dat ik slechts beperkte kennis heb van de wiskunde geef ik grif toe. U hebt echter nergens aangetoond dat het mij aan logica ontbreekt. Als u logica-fouten in een van mijn berichten hebt geconstateerd. Verzoek ik u beleefd deze aan te tonen. En niet zonder concrete argumentatie te beweren dat het mij aan kennis van de logica schort.

 

Je fouten zijn al in de loop van vele berichtjes door anderen aan de kaak gesteld. Maar in plaats dat je daaruit concludeert dat je het mogelijk bij het verkeerde eind hebt, kom je steeds weer met nieuwe lappen tekst aanzetten die wemelen van de denkfouten en onwaarheden. Paradoxalerwijs vormt je gebrek aan kennis hierbij je redding, want juist daardoor ben je in staat steeds nieuwe vermeende gebreken in de reguliere theorie te ontdekken. Een typisch geval van pseudowiskunde.

[Peter van Velzen]

Beste professor puntje. U trekt weer eens allerlei conclusies over mij zonder mij te kennen. Als ik ergens niet in geloof, wil dat niet  zeggen dat ik absolute zekerheid heb dat hetgene waarin ik niet geloof, niet bestaat. Het is slechts een gebrek aan overtuiging dat het wel bestaat.
 
Als iemand – zoals Evilbro onlangs gedaan heeft - op een concrete manier aantoont dat ik ergens ongelijk in heb, ben ik alleen maar blij, want dan heb ik weer iets geleerd. Als echter iemand mijn motieven vast gaat stellen, zonder mij er naar te vragen en – zonder concrete argumentatie – mijn manier van redeneren naar de prullebak verwijst, ben ik niet blij, want daar leer ik niets van.
 
Ik blijf voorlopig even over de materie nadenken want ik ben zeer verwonderd over de onmogelijkheid om eindige stappen te nemen van het  ene getal naar het andere. Ik was er zeker niet tevoren van overtuigd dat het boek van Schuh niet kon kloppen. Ik laat mij altijd gaag iets uitleggen, en Schuh heeft mij inderdaad heel veel geleerd. Er is slechts één bewering in het boek, waarbij ik twijfel aan de juistheid, en dat is de bewering in paragraaf 122 dat twee Dedekindsneden slechts dan ongelijk zijn als ze in de indeling van minstens twee getallen verschillen. En dit dan nog slechts in zoverre dat ik er wel van overtuigd ben dat ze in de indeling van méér dan een getal moeten verschillen, maar dat ik er niet van overtuigd ben dat ze in de indeling van een eindig aantal getallen kunnen verschillen. Mijn verbijsterende conclusie is dat als ze in de indeling van twee getallen verschillen, er oneindig veel getallen kunnen worden berekend die ook anders moeten zijn ingedeeld. Niet een twijfel die gebaseerd is op met mijn gebrek aan geloof in oneindige verzamelingen.
 
Uw vooringenomenheid jegens mij blijkt ietsje groter te zijn dan mijn vooringenomenheid jegens oneindige verzamelingen.(die trouwens slechts een semantische kwestie is)

[Professor Puntje]

Ik blijf voorlopig even over de materie nadenken want ik ben zeer verwonderd over de onmogelijkheid om eindige stappen te nemen van het  ene getal naar het andere. Ik was er zeker niet tevoren van overtuigd dat het boek van Schuh niet kon kloppen. Ik laat mij altijd gaag iets uitleggen, en Schuh heeft mij inderdaad heel veel geleerd. Er is slechts één bewering in het boek, waarbij ik twijfel aan de juistheid, en dat is de bewering in paragraaf 122 dat twee Dedekindsneden slechts dan ongelijk zijn als ze in de indeling van minstens twee getallen verschillen. En dit dan nog slechts in zoverre dat ik er wel van overtuigd ben dat ze in de indeling van méér dan een getal moeten verschillen, maar dat ik er niet van overtuigd ben dat ze in de indeling van een eindig aantal getallen kunnen verschillen. Mijn verbijsterende conclusie is dat als ze in de indeling van twee getallen verschillen, er oneindig veel getallen kunnen worden berekend die ook anders moeten zijn ingedeeld. Niet een twijfel die gebaseerd is op met mijn gebrek aan geloof in oneindige verzamelingen.

 
Dan heb je nu de mogelijkheid aan te tonen dat ik ongelijk heb. Het boek bevat namelijk meerdere methoden om de reële getallen te introduceren. Al zou de methode van Dedekind niet kloppen (en meer fouten zeg je niet in het boek te hebben aangetroffen), dan nog blijven de methoden van Cantor, Baudet en Weierstrass overeind. Drie methoden om de reële getallen te introduceren is meer dan genoeg. De reële getallen zoals gebruikt in de reguliere wiskunde zijn daarmee afdoende onderbouwd.

[Peter van Velzen]

Beste professor Puntje,
 
Ik stel helemaal niet dat de idee van de Dedekindsnede niet klopt. Ik stel slechts dat ik één enkele bewering uit Schuhs behandeling ervan als een understatement zie. Verder stelde ik - in mijn eerste bericht in dit topic, dat de vier methoden onderling samenhangen. Ik denk dus niet dat het vier onafhankelijke methoden zijn, maar dat het vier manieren zijn om dezelfde gedachte uit te  leggen.
Schuh schrijft in elk geval dat alle beweringen die voor de ene methode gelden, eveneens voor de andere drie gelden. HIj ziet de equivalentie van de vier dus ook in. HIj stelt bovendien dat de oneindige decimalen, kunnen worden gezien als het resultaat van fundamentaalrijen. Ook dat heb ik in mijn openingsbericht in feite al duidelijk gemaakt. Daarmee is nog een vijfde methode in hetzelfde theoretisch kader ondergebracht.
 
Het idee van een of twee versus oneindig veel verschillende rationele getallen kan ook worden verwoord in het  kader van elk der andere methoden. Zo geldt voor de fundamentaalrijen dat rijen die slechts verschillen in een eindig aantal termen hetzelfde reële getal beschrijven. Ook hier geldt dus dat - teneinde een verschillend getal te definiëren, de twee rijen oneindig veel verschillende termen moeten bevatten.

[tempelier]

 
Zo geldt voor de fundamentaalrijen dat rijen die slechts verschillen in een eindig aantal termen hetzelfde reële getal beschrijven.

Dit is gewoon niet waar.
 
Dit zal Schuh dan ook nooit zo geformuleerd hebben.

[Professor Puntje]

@ Peter van Velzen
 
Nu gaat het dus ineens niet meer om gebreken maar om "understatements". En vergelijkbare "understatements" (die je kennelijk eerst niet waren opgevallen) zie je nu ook binnen de andere theorieën van het reële getal. Gelukkig voor de wiskunde is er met een beweringen van het type x > 1000  =>  x > 1 niets mis. Je bent hier dan ook niet bezig met een serieuze wiskundige discussie, maar met het zonder een noemenswaardige kennis van zaken verdedigen van je geloof dat de reguliere theorie van het reële getal niet kan kloppen. Mijn diagnose was correct. Pseudowiskunde dus. En dan is verdere discussie zinloos.

[Professor Puntje]

Dit is gewoon niet waar.
 
Dit zal Schuh dan ook nooit zo geformuleerd hebben.

 
In paragraaf 73 van het boek staat dat de fundamentaalrijen {a_n} en {b_n} dan gelijk worden genoemd als onderstaande limiet geldt:
 

\( \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - b_n) = 0 \)

[Peter van Velzen]

Dit is gewoon niet waar.
 
Dit zal Schuh dan ook nooit zo geformuleerd hebben.

Twee vraagstukken die volgen op paragraaf 77 van Schuh’s boek luiden als volgt:

Vraagstuk 120:

Bewijs, dat een fundamentaalrij door een daaraan gelijke vervangen wordt, als men een eindig aantal getallen weglaat of toevoegt.

 
Vraagstuk 121:

Bewijs, dat een fundamentaalrij door een daaraan gelijke vervangen wordt, als men oneindig veel getallen der rij weglaat, mits er nog oneindig veel overblijven.

Blijkbaar acht Schuh zijn studenten er toe in staat deze bewijzen te leveren.

Hij formuleert het inderdaad niet op dezelfde wijze als ik heb gedaan, maar vraagstuk 120 impliceert wel dat het wel waar is. Vraagstuk 121 impliceert zelfs dat oneindig veel verschillen in de elementen wel een noodzakelijke voorwaarde is, maar geenzins een voldoende voorwaarde.
 
Er Is nog een andere manier waarop twee gelijke fundamentaalrijen In oneindig veel elementen kunnen verschillen maar dat betreft een niet dalende rij versus een niet stijgende rij, en is daarom het equivalent van de lage klasse en de hoge klasse in de Dedekindsnede. In zo’n geval is er uiteraard
geen enkel element dat beide fundamentaalrijen gemeen hebben. In geval van een rationeel getal komt daar nog een monotone rij bij.

 

[tempelier]

 
In paragraaf 73 van het boek staat dat de fundamentaalrijen {a_n} en {b_n} dan gelijk worden genoemd als onderstaande limiet geldt:
 

\( \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n - b_n) = 0 \)

Dat is dan een ongelukkige definitie van het gelijk zijn van rijen.
 
Tegenwoordig zijn rijen alleen gelijk als alle termen het zelfde zijn.
Volgens de definitie hier zijn ze gelijk als ze de zelfde limiet hebben.
 
Dat is vreemd want het is mogelijk twee Cauchy rijen te maken die geen enkele term gemeen hebben maar toch allebei naar pi convergeren.
 
PS.
Het is raadzaam om bij Schuh/Wijdenes te kijken wat ze met hun notatie en naamgeving bedoelen,
want die wil wel eens afwijken van wat nu gebruikelijk is.