Nul is reken- vs. telgetal.

[Kampen540]

Het volgende probleem blijft aan mij knagen.
 
Is nu nul een reken- of telgetal?
 
Zelf denk ik dat het uitsluitend een rekengetal is (de meningen daarover zijn verdeeld).
 
Wie kan mij uit de droom helpen?

[Rhiannon]

In je vraagstelling mist iets. Getallen kunnen namelijk meerdere functies hebben, niet slechts twee:

1. kardinaalgetal of hoeveelheidsgetal (geeft een aantal aan): De kat heeft vier kittens gekregen
2. telgetal of ordinaalgetal (geeft een plaats in een reeks aan): Dafne Schippers is op nummer twee geëindigd op de Olympische Spelen
3. meetgetal: <i>Gisteren heb ik twintig minuten met Annie gebeld </i>
4. naamgetal: <i>Ik ga straks met lijn tien naar de stad </i>
5. rekengetal (het getal in een som): Als je twintig druiven wilt verdelen over tien kinderen, krijgt ieder kind 2 druiven want 20 : 10 = 2

Als we hiernaar kijken, dan kan:
- nul geen kardinaalgetal zijn want de kat kan geen nul kittens krijgen (ook al zijn ze allemaal doodgeboren, ze heeft toch een aantal kittens gekregen; mocht ze geen kittens hebben gekregen, dan is ze ook niet drachtig geweest)
- nul geen telgetal zijn want je kunt niet op nummer nul eindigen in een wedstrijd
- nul wel een meetgetal zijn, want je kunt nul minuten bellen (je kreeg geen gehoor bijvoorbeeld of je hebt helemaal niet de telefoon gepakt)
- nul een naamgetal zijn, een bus kan lijn nul heten
- en nul kan zeker ook een rekengetal zijn.
 
Kortom, nul kan drie functies hebben: meetgetal, naamgetal en rekengetal.

[Benm]

Ik weet niet of dat zo gemakkelijk te stellen is, neem punten 1 en 3:
 
Als je belt maar er niet wordt opgenomen heb je 0 minuten gebeld, maar als je kinderloos bent heb je geen 0 kinderen gekregen? Ik zie het verschil niet zo. En wat te denken van 0-urencontracten?
 
En qua telgetal: er is inderdaad geen plaats 0 in een wedstrijd, maar bij een raketlancering tel je (resterende seconden) af naar 0. 

[jkien]

Is nu nul een reken- of telgetal?

Zoals je waarschijnlijk weet is je vraag tot welke verzameling het getal 0 behoort niet erg origineel. Doe de lezer een plezier, en citeer wat wikipedia erover zegt: "Er is geen overeenstemming of het getal 0 bij de natuurlijke getallen hoort. In de traditionele definitie beginnen de natuurlijke getallen bij 1 - van daaraf begint men immers te tellen - , maar vanaf de negentiende eeuw ziet men de definitie opduiken die 0 wel tot de natuurlijke getallen rekent. In de wiskunde wordt tegenwoordig vrij algemeen het getal 0 tot de natuurlijke getallen gerekend."

[Benm]

Het is een beetje de vraag of tellen begint bij 1 of bij 0 natuurlijk. 
 
Als ik een bierkrat neerzet en jou vraag hoeveel flesjes erin zitten zul je denk ik nul/geen zeggen bij een lege krat, en vervolgens 1, 2, 3 etc naarmate ik er telkens een flesje bij doe... of, vaker voorkomend, zul je aftellen tot nul als de krat leeg is. 
 
Een krat met -1 flesje wordt een raar concept, maar met 0 weet iedereen dat je een lege bedoelt. 
 
Daarnaast heb je nog tellen zoals men dat in computers doet, en dat begint altijd bij nul, ook voor getallen die enkel nul of positief kunnen zijn. 
 
 
Qua naamgetallen is het ook lastig, soms heb je perron/spoor 1A en 1B op een station, of 9.75 in uitzonderlijke situaties

[tempelier]

Wiskundig gezien lijkt me het een imaginaire vraag.
 
Immers de wiskunde kent geen begrippen als seconden paarden en konijnen.
 
Het gaat dus meer over hoe men er in andere disciplines mee omgaat.
 
Vroeger (zoals al eerder opgemerkt) was nul geen natuurlijk getal.
De verzameling van de natuurlijke getallen uitgebreid met nul werden de aantallen genoemd.
Die laatste naam is mijns inziens duidelijk een betere omdat hij de lading beter dekt.
Immers er is dan niets mis met 0-paarden in de wei.

[Benm]

Het lijkt mij ook vreemd dat nul geen natuurlijk getal zou zijn. 0 paarden in de wei, 0 vrije vakken op de parkeerplaats, er zijn zoveel natuurlijke situaties waarbij 0 voorkomt dat ik amper kan voorstellen hoe men het ooit zonder deed. Hoogstens noem je het anders, bijvoorbeeld 'geen'.

[jkien]

Een van de regels die me vroeger bij wiskunde werd ingeprent was: "de natuurlijke getallen zijn de getallen die de baviaan van nature kent, in de vorm van een banaan, twee bananen, drie bananen. Nul bananen heeft geen betekenis voor de baviaan, nul is derhalve geen natuurlijk getal."

[Benm]

Tja, maar 'geen bananen' dan weer wel, dus wordt het wel een heel semantisch spelletje op die manier.
 
Het is een taalkwestie, niet iedere taal heeft een specifiek verschil tussen 'geen' en 'nul' als het op telwoorden aankomt. 

[Math-E-Mad-X]

Persoonlijk vind ik het eleganter om 0 wel als natuurlijk getal te beschouwen. 
 
Ten eerste, omdat de natuurlijke getallen dan precies overeenkomen met de mogelijke kardinaliteit van een eindige verzameling: het getal 0 is de kardinaliteit van de lege verzameling. Getallen zoals -1 and 2,5  kunnen natuurlijk nooit de kardinaliteit van enige verzameling kunnen zijn.
 
Ten tweede vind ik het vanuit taalkundig oogpunt ook logischer om 0 wel mee te tellen omdat het getal 0 in de meeste gevallen waar je een natuurlijk getal als antwoord verwacht het getal 0 ook gewoon een prima antwoord is. Bijvoorbeeld, als ik vraag "Hoeveel bananen heeft de baviaan gegeten?" en iemand geeft als antwoord "0 bananen" dan is dat een volkomen zinvol en begrijpelijk antwoord (in tegenstelling tot -1 bananen) . Ik zie verder ook geen enkele reden waarom een baviaan het begrip "0 bananen" niet zou kunnen begrijpen (als we aannemen dat hij "3 bananen" wel kan begrijpen).
 
Hetzelfde voor de vraag "hoeveel kittens heeft de kat gekregen?". Ik zie niet in waarom je niet zou mogen zeggen dat ze 0 kittens heeft gekregen.
 
Maar goed, uiteindelijk blijft het natuurlijk een kwestie van smaak.

[tempelier]

Het lijkt mij ook vreemd dat nul geen natuurlijk getal zou zijn. 0 paarden in de wei, 0 vrije vakken op de parkeerplaats, er zijn zoveel natuurlijke situaties waarbij 0 voorkomt dat ik amper kan voorstellen hoe men het ooit zonder deed. Hoogstens noem je het anders, bijvoorbeeld 'geen'.

Nul is geen tastbaarheid.
 
1-muis kun je oppakken 0-muizen niet.
 
Nul is dus in mijn ogen geen natuurlijk getal daar het niets tasbaars heeft.
 
Het oude begrip aantal dekt de vlag veel beter.
 
PS.
Met een beetje goede wil kan men aan elk getal het begrip natuurlijk knopen.
Dan is de naam echter zinloos geworden.

Persoonlijk vind ik het eleganter om 0 wel als natuurlijk getal te beschouwen. 
 
Ten eerste, omdat de natuurlijke getallen dan precies overeenkomen met de mogelijke kardinaliteit van een eindige verzameling: het getal 0 is de kardinaliteit van de lege verzameling. Getallen zoals -1 and 2,5  kunnen natuurlijk nooit de kardinaliteit van enige verzameling kunnen zijn.
 
Ten tweede vind ik het vanuit taalkundig oogpunt ook logischer om 0 wel mee te tellen omdat het getal 0 in de meeste gevallen waar je een natuurlijk getal als antwoord verwacht het getal 0 ook gewoon een prima antwoord is. Bijvoorbeeld, als ik vraag "Hoeveel bananen heeft de baviaan gegeten?" en iemand geeft als antwoord "0 bananen" dan is dat een volkomen zinvol en begrijpelijk antwoord (in tegenstelling tot -1 bananen) . Ik zie verder ook geen enkele reden waarom een baviaan het begrip "0 bananen" niet zou kunnen begrijpen (als we aannemen dat hij "3 bananen" wel kan begrijpen).
 
Hetzelfde voor de vraag "hoeveel kittens heeft de kat gekregen?". Ik zie niet in waarom je niet zou mogen zeggen dat ze 0 kittens heeft gekregen.
 
Maar goed, uiteindelijk blijft het natuurlijk een kwestie van smaak.

Het slechtste wat men kan doen is taalkundige argumenten gebruiken om wiskundige begrippen vast te leggen.
Taal is namelijk zeer inconsequent (alleen de spelling al) en barst van de synoniemen en homoniemen.
 
PS.
Het is zeker geen kwestie van smaak, maar een kwestie van zuiverheid.

[Benm]

1-muis kun je oppakken 0-muizen niet.

 
Maar een halve muis wel, al zou ik handschoenen aanbevelen

[tempelier]

 
Maar een halve muis wel, al zou ik handschoenen aanbevelen

Het probleem is wel dat een halve muis geen echte muis meer is.
 
PS.
Je kunt hem invriezen.

[Kampen540]

Het argument van Dedekind-Peano om nul tot natuurlijk getal te bombarderen luidt:

• Koppel alle soorten getallen aan één soort getallenlijn.

De gevolgen hiervan zijn bekend (veel axioma’s en omstreden status getal nul m.b.t. niét vs. wél natuurlijk getal).
 
Beter is om in specialisme te denken.

• Er is een rekenkundige.
• Er is een telkundige.

 
Beide specialisten hebben een eigen getallenlijn.
 
Voor rekenkundige geldt:

• Heeft rechte als getallenlijn.

 
Voor rechte als getallenlijn geldt:

• Is een (aftelbaar) onbegrensde aaneenschakeling van begrensd lijnstuk(+óf-) met middelpunt(+én-).
• Lijnstuk(+óf-) is een (aftelbaar) onbegrensde aaneenschakeling van onbegrensd (kleine) punten.
• Punt(+óf-) is gevulde ruimte(+óf-).
• Middelpunt(+én-) is de resultante van punt(+) en punt(-).
• Middelpunt(+én-) is gekoppeld aan getal nul(+én-).
• Lijnstuk(+óf-) is gekoppeld aan een geheel rekengetal(+óf-).
• Punt(+óf-) in eerste lijstuk is gekoppeld aan onbegrensd aantal gebroken getal(+óf-).

 
Voor telkundige geldt:

• Heeft halfrechte als getallenlijn.

 
Voor halfrechte als getallenlijn geldt:

• Is een (aftelbaar) onbegrensd aaneenschakeling van begrensd kubus(+én-).
• Kubus(+én-) is lege ruimte(+én-).
• Kubus(+én-) is gekoppeld een telwoord: Eén, Twee … (is IETS).
• Voor telwoord ‘Eén, Twee …’ geldt: Is natuurlijk getal 1(+én-), 2(+én-) … (is IETS).
• Het absolute NIETS grenst aan eerste kubus(+én-).

 
Voorbeeld 1.
 
Rekenkundige verzoekt telkundige het aantal parkeerplaatsen van terrein A te tellen en het aantal geparkeerde auto’s.
 
Mogelijkheid 1.

• Telkundige meldt: 6(+én-), 3(+én-).
• Rekenkundige vertaalt 6(+én-), 3(+én-) in 6(+), 3(+) en berekent de bezettingsgraad (= 50 %).

Mogelijkheid 2.

• Telkundige meldt: 6(+én-), NIETS.
• Rekenkundige vertaalt 6(+én-), NIETS in 6(+), 0(+én-) en berekent de bezettingsgraad (= 0 %).

 
Voorbeeld 2.
 
Rekenkundige verzoekt telkundige het aantal kittens die zijn kat gekregen heeft door te geven.
 
Mogelijkheid 1.

• Telkundige meldt: 3(+én-).
• Rekenkundige vertaalt 3(+én-) in 3(+) en berekent het gemiddeld aantal kittens van de kat ten huize van telkundige (= 3(+)).

Mogelijkheid 2.

• Telkundige meldt: NIETS.
• Rekenkundige vertaalt NIETS in 0(+én-) berekent het gemiddeld aantal kittens van de kat ten huize van telkundige (= 0(+én-)).

 
Kortom:

• Nul is niét een natuurlijk getal.
• Rekengetal = Alle niét neutrale getallen ≠ nul, inclusief nul als wél neutraal getal.
• Telgetal = Alle wél neutrale getallen ≠ nul, exclusief nul als wél neutraal getal

 
NB.
Halfrechte als telgetallenlijn is onlosmakelijk verbonden met rechte als rekengetallenlijn (zie module ‘Punt - Ontstaan’).

[mathfreak]

Voor ik op je laatste post in ga wil ik nog even reageren op een aantal opmerkingen uit je andere (gesloten) topic.
 

Stop met het geleuter over niet wetenschappelijk en uitsluiting

Bedenk dat we hier op een wetenschapsforum zitten en niet op een filosofieforum. Er is hier wel een apart filosofieforum, maar dat is en blijft helaas gesloten. Dat houdt dus in dat je posts in ieder geval onderbouwd moeten zijn met steekhoudende argumenten. Jouw manier van formuleren is helaas nogal warrig (niet persoonlijk bedoeld) zodat het voor mij en voor anderen niet duidelijk is wat we precies met jouw manier van formuleren aanmoeten.
 

Sinds Aristoteles is wetenschap kennelijk verworden tot een soort religieuze gemeenschap onder aanvoering van broeders in religieuze kleding (wie gezangen zingt i.p.v. psalmen wordt uit de gemeenschap verstoten).

 
Om maar even met Aristoteles te beginnen: Aristoteles beschouwt wetenschap als een louter aanschouwende discipline. Voor experimenten is in het overwegend teleologisch-wetenschappelijke denkbeeld van Aristoteles geen plaats. Vanaf de zeventiende eeuw laat men, te beginnen met Galilei, het aristotelische wetenschapsbeeld voor wat het is en probeert men aan de hand van experimenten bepaalde hypotheses te toetsen. Dit betekent dus dat natuur- en scheikunde zich vanaf dat moment ontwikkelen tot de empirische natuurwetenschappen zoals we die nu kennen. Vanuit een traditioneel aristotelisch standpunt zou dat dus nooit mogelijk zijn geweest.
Dan jouw kritiek met betrekking tot wetenschap: wetenschappers werken binnen een bepaald begrippenkader, waarbij deze begrippen op een duidelijke manier zijn vastgelegd en dus ook altijd op dezelfde manier worden toegepast. Wiskunde is bijvoorbeeld een wetenschap waarbij we uitgaan van een aantal basisaannames (de zogenaamde axioma's) die ons in staat stellen om een bepaald wiskundig gebied verder uit te bouwen. Voorwaarde is dat een axiomasysteem consistent is en dat er dus geen tegenspraak in dat systeem kan ontstaan. Wetenschap heeft dus niets met een of ander (quasi)religieus institutionalisme te maken, maar is louter een op duidelijke afspraken gebaseerde sociale activiteit.
Nog even iets over de uitdrukking π^π die Tempelier in je andere topic introduceerde: dit is niets anders dan het getal pi verheven tot de macht pi. Jij beweerde dat π een exact getal is, vandaar de vraag van Tempelier wat dan de status van het getal π^π precies is.
Dan nog een aantal dingen waar we eigenlijk eerder op in hadden moeten gaan. Wat is bijvoorbeeld jouw vooropleiding? Heb je bijvoorbeeld voor 1968 onderwijs gevolgd op een ulo of hbs, of heb je na 1968 onderwijs gevolgd, en zo ja, op welk niveau? Als ik dat weet kan ik me namelijk een redelijk nauwkeurig beeld vormen van de hoeveelheid wiskunde waarmee je tijdens je opleiding te maken hebt gehad. Het is voor mij dan ook beter in te schatten wat voor wiskunde voor jou wel begrijpelijk is en wat niet. Kun je misschien ook eens aangeven of en in hoeverre er tijdens jouw opleiding aandacht is besteed aan een beschrijving van de historische ontwikkeling van diverse wetenschappen als wis-, natuur- en scheikunde?