Wiskunde van de ART

[mathfreak]

Heb je toevallig ook het boek General Relativity from A to B van Geroch gelezen?

Ik heb de inhoudsopgave ervan op Amazon bekeken, maar omdat er niet over Kerrs oplossing in dat boek wordt gesproken kwam het voor aanschaf niet bij mij in aanmerking.  

[flappelap]

Uiteraard maakt het veel verschil of je een schilderij scheef hangt of een muur scheef zet, en net zo is er een verschil tussen het verplaatsen van een object over een eenmaal gekozen coördinatenstelsel dat je over (een deel van) de ruimte legt, en het verplaatsen van het coördinatenstelsel terwijl je het object ongemoeid laat. Daar is ook een fysisch meetbaar verschil tussen want verplaatsing van het object brengt voor dat object meetbare versnellingen met zich mee die bij het verplaatsen van het coördinatenstelsel uitblijven.

Nee, dat maakt geen verschil, want de algemene rel.theorie is een relationele theorie. Het enige dat dus fysisch is, is de relatie tussen jouw (de coördinaten) en het object dat je beschrijft.

In feite heb je dit in Newtons theorie ook al. Daar heb je geen absolute snelheid. Wanneer je zou kunnen zeggen of jij beweegt met snelheid v of het object met snelheid -v, dan zou je een absolute snelheid hebben.

In Einsteins theorie wordt dit uitgebreid naar algemene coördinatentransformaties.

Natuurlijk kun je fysisch wel zeggen waar een kracht op inwerkt. Daarom noemen we bepaalde krachten ook "schijnkrachten"; krachten die je als niet-inertiaalwaarnemer introduceert op een object terwijl de daadwerkelijke kracht op jou inwerkt. Dus als je dat bedoelt met "meetbaar", dan ben ik het met je eens.

[Professor Puntje]

@ flappelap

 

We praten langs elkaar heen. Laten we liever terugkeren naar meer concrete vragen.

 

Binnen de SRT is het ruimtetijdinterval tussen gebeurtenissen waarnemer-onafhankelijk. In hoeverre blijft dat het geval binnen de ART?

- Is dat enkel zo in infinitesimale omgevingen?

- Of geldt dat ook nog bijvoorbeeld voor gebeurtenissen op verschillende planeten in een zonnestelsel?

- En hoe zit het bij twee waarnemers waarvan er één in een zwart gat verdwijnt?

[flappelap]

@ flappelap
 
We praten langs elkaar heen. Laten we liever terugkeren naar meer concrete vragen.
 
Binnen de SRT is het ruimtetijdinterval tussen gebeurtenissen waarnemer-onafhankelijk. In hoeverre blijft dat het geval binnen de ART?
- Is dat enkel zo in infinitesimale omgevingen?
- Of geldt dat ook nog bijvoorbeeld voor gebeurtenissen op verschillende planeten in een zonnestelsel?
- En hoe zit het bij twee waarnemers waarvan er één in een zwart gat verdwijnt?

In de ART is het ruimtetijd interval ook een scalair (onder algemene coördinatentransformaties). Een waarnemer die voorbij een horizon verdwijnt van een zwart gat is op zich geen probleem, maar je moet dan wel coördinaten gebruiken die de gebeurtenissen kunnen beschrijven.

[Professor Puntje]

In de ART is het ruimtetijd interval ook een scalair (onder algemene coördinatentransformaties). Een waarnemer die voorbij een horizon verdwijnt van een zwart gat is op zich geen probleem, maar je moet dan wel coördinaten gebruiken die de gebeurtenissen kunnen beschrijven.

 
Mooi! Dus bijvoorbeeld het ruimetijdinterval tussen twee gebeurtenissen op planeten I en II die op grote afstand van elkaar in een zonnestelsel draaien wordt ook door alle waarnemers als even groot gemeten?
 
Stel dat we een waarnemer Z hebben die in een zwart gat verdwijnt en dat in eerste instantie overleeft, en een waarnemer Q die dat op grote afstand gadeslaat. Dan zijn er gebeurtenissen A en B in het leven van Z zodanig dat A nog voor waarnemer Q waarneembaar is maar B niet meer. Daar lijkt mij dan toch een probleem te ontstaan in die zin dat het ruimtetijdinterval tussen A en B voor Z een bepaalde waarde heeft maar voor Q niet gedefinieerd is. Of zie ik dat verkeerd?

[Th.B]

Hoewel ik geen inhoudelijke bijdragen heb aan het topic tot dusver, volg ik het sinds een dag of 2 en ben ik van plan dit te blijven doen. Over ART inhoudelijk weet ik erg weinig, maar van differentiaalmeetkunde weet ik tegenwoordig zeker wel het een en ander. Misschien kan ik daarom vroeg of laat toch nog mijn duit in het zakje doen.
 
Tot dusver ziet dit er uit als een fraai en productief draadje, dus hopelijk blijft dit voortgaan!

[Professor Puntje]

Tot dusver ziet dit er uit als een fraai en productief draadje, dus hopelijk blijft dit voortgaan!

 
Wat mij betreft gaan we door tot ik de basisbeginselen van de ART begrijp.
 
Maar als daar belangstelling voor is wie weet nog verder....

[flappelap]

Mooi! Dus bijvoorbeeld het ruimetijdinterval tussen twee gebeurtenissen op planeten I en II die op grote afstand van elkaar in een zonnestelsel draaien wordt ook door alle waarnemers als even groot gemeten?
 
Stel dat we een waarnemer Z hebben die in een zwart gat verdwijnt en dat in eerste instantie overleeft, en een waarnemer Q die dat op grote afstand gadeslaat. Dan zijn er gebeurtenissen A en B in het leven van Z zodanig dat A nog voor waarnemer Q waarneembaar is maar B niet meer. Daar lijkt mij dan toch een probleem te ontstaan in die zin dat het ruimtetijdinterval tussen A en B voor Z een bepaalde waarde heeft maar voor Q niet gedefinieerd is. Of zie ik dat verkeerd?

Ik weet niet helemaal zeker of ik je punt juist heb, maar er is geen probleem. De reden is, dat een waarnemer een bepaald coördinatenstelsel gebruikt. En zo'n coördinatenstelsel hoeft niet de gehele ruimtetijd te kunnen beschrijven. Sterker nog, meestal doet dat het niet. Een simpel voorbeeld is de aarde: een coördinatenstelsel dat de Noordpool beschrijft, zal de Zuidpool niet kunnen bevatten en daarmee het gehele boloppervlak beschrijven (stel je een zak voor die je over de bol heen trekt). Dit is eenvoudigweg de uitspraak dat je geen 1-op-1 relatie kunt leggen tussen een vlak en een boloppervlak (zie b.v. "stereographic projection").

In de alg.rel.theorie geldt dit ook. Neem b.v. de Schwarzschildoplossing in de gebruikelijk coördinaten. Deze coördinaten gelden alleen als je je buiten de waarnemershorizon bevindt. Als je naar de waarnemershorizon beweegt in deze coördinaten, dan zul je op een gegeven moment een singulariteit op de horizon tegenkomen. Fysisch vertaalt zich dat in het feit dat als een persoon X naar de horizon gaat, een verre buitenstaander meet dat de coördinatentijd tussen de gebeurtenis (X gaat weg) en (X komt aan bij de horizon) oneindig groot is. X zal dus volgens deze buitenstaander de horizon nooit voorbijgaan.

Maar die singulariteit is een eigenschap van de gebruikte coördinaten die de buitenstaander gebruikt. Transformeer je naar de coördinaten van X zelf, dan zul je een eindige eigentijd meten tussen de 2 eerder genoemde gebeurtenissen en X zal op de horizon zelf niks geks merken.

Om jouw geval concreet te maken: onze buitenstaander kan volgens mij geen ruimtetijdinterval toedichten aan twee gebeurtenissen, waarbij eentje buiten de horizon ligt en de ander binnen de horizon.

De wiskundige term om je coördinatenstelsel de gehele ruimtetijd te laten bedekken (indien mogelijk), noemen we analytische voortzetting. Als zo'n analytische voortzetting bestaat, dan kun je tussen elke twee gebeurtenissen een ruimtetijdinterval beschrijven. Eerlijk gezegd weet ik zo uit m'n hoofd niet of je bij dergelijke analytische voortzettingen ook eenvoudig een bijbehorende waarnemer kunt interpreteren.

Mooi! Dus bijvoorbeeld het ruimetijdinterval tussen twee gebeurtenissen op planeten I en II die op grote afstand van elkaar in een zonnestelsel draaien wordt ook door alle waarnemers als even groot gemeten?

Ja. Een ruimtelijke analogie daarvoor is de volgende: neem een stok met lengte L in de ruimte R3. Hoe je je coördinatenstelsel ook opschuift of roteert, de lengte L zal hetzelfde blijven, ook al schuif je je coördinatenstelsel enorm op.

De uitspraak "de lengte L is invariant onder rotaties en verschuivingen in de ruimte" is analoog aan de uitspraak "het ruimtetijdinterval is invariant onder algemene coordinatentransformaties in de ruimtetijd".

[Professor Puntje]

Laat V en W twee waarnemers zijn die beschikken over respectieve ruimtetijdelijke kaarten K_v en K_w voor zekere deels overlappende ruimtetijdelijke omgevingen O_v (van V) en O_w (van W). Dan meten V en W voor ieder zowel binnen O_v als O_w liggend paar gebeurtenissen A en B hetzelfde ruimtetijdinterval.
 
Is bovenstaande zo juist?
 
 
Idee: Is het mogelijk om een kaart van een waarnemer ver buiten een zwart gat door het gebruik van enig type oneindig grote getallen uit te breiden zodat die kaart tot in het zwarte gat reikt (en de gebeurtenissen daarin dus ook van zonodig oneindig grote coördinaten voorzien kunnen worden)?
 

[flappelap]

Laat V en W twee waarnemers zijn die beschikken over respectieve ruimtetijdelijke kaarten K_v en K_w voor zekere deels overlappende ruimtetijdelijke omgevingen O_v (van V) en O_w (van W). Dan meten V en W voor ieder zowel binnen O_v als O_w liggend paar gebeurtenissen A en B hetzelfde ruimtetijdinterval.
 
Is bovenstaande zo juist?
 
 
Idee: Is het mogelijk om een kaart van een waarnemer ver buiten een zwart gat door het gebruik van enig type oneindig grote getallen uit te breiden zodat die kaart tot in het zwarte gat reikt (en de gebeurtenissen daarin dus ook van zonodig oneindig grote coördinaten voorzien kunnen worden)?

Bovenstaande lijkt me juist, en is het idee dat het interval een scalair is.

Voor je tweede vraag verwijs ik naar Kruskal-Szekeres coördinaten,

https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%E2%80%93Szekeres_coordinates

Deze kunnen opvatten als een analytische voortzetting van de gebruikelijke Schwarzschild-coördinaten.

[peterdevis]

Ik begrijp niet waarom er in deze discussie een onderscheid gemaakt wordt tussen waarnemer, referentiestelsel, coördinatenstelsel. Dit zijn synoniemen in de natuurkunde.

[Professor Puntje]

Ik begrijp niet waarom er in deze discussie een onderscheid gemaakt wordt tussen waarnemer, referentiestelsel, coördinatenstelsel. Dit zijn synoniemen in de natuurkunde.

 
Ik had uit de discussie begrepen dat er ook coördinatenstelsels zijn waar geen waarnemer bij voorstelbaar is.

[peterdevis]

Aangezien we in 'de wiskunde van de ART" zitten, hoe definieer jij een waarnemer wiskundig?

[Professor Puntje]

Aangezien we in 'de wiskunde van de ART" zitten, hoe definieer jij een waarnemer wiskundig?

 
Geheel wiskundig zal niet gaan want dan bedrijven we zelfs geen mathematische fysica meer. Maar een geïdealiseerde waarnemer stel ik mij voor als een informatieverwerkend systeem dat aan de hand van in principe uitvoerbare procedures in staat is (vanuit zijn perspectief) de plaats en tijd van gebeurtenissen te meten die in de directe (infinitesimale) omgeving van die waarnemer plaatshebben.

[peterdevis]

Ik merk dat je intuïtief wel aanvoelt dat je om de natuur te beschrijven geen menselijke waarnemer nodig hebt. Meer nog de natuur zal zonder informatieverwerkende eenheid ook wel doordraaien (tenslotte zal zo'n systeem wel bestaan uit deeltjes en waar zit daarvoor dan de waarnemer?). Kortom de term natuur behoeft geen waarnemer en als deze term gebruikt wordt in de fysica is dit louter een metafoor om een coördinatensysteem aan te duiden