Wiskunde van de ART

[Professor Puntje]

Ik merk dat je intuïtief wel aanvoelt dat je om de natuur te beschrijven geen menselijke waarnemer nodig hebt. Meer nog de natuur zal zonder informatieverwerkende eenheid ook wel doordraaien (tenslotte zal zo'n systeem wel bestaan uit deeltjes en waar zit daarvoor dan de waarnemer?).

 
Eens.

 

Kortom de term natuur behoeft geen waarnemer en als deze term gebruikt wordt in de fysica is dit louter een metafoor om een coördinatensysteem aan te duiden

 
Oneens. Naar mijn mening is het een stap te ver om waarnemers en coördinatenstelsels eenvoudigweg te identificeren. Ik vind het belangrijk om een onderscheid te blijven maken tussen wat in principe wel en wat in principe niet waarneembaar is. Het moet duidelijk blijven wat de empirische basis van natuurkundige theorieën is. Natuurkunde mag niet in zuiver wiskundige speculatie ontaarden.

[Professor Puntje]

Kennelijk kun je de raakruimte T_p aan een punt p in de ruimtetijd interpreteren als een verzameling plaatsvectoren die gebeurtenissen in een infinitesimale ruimtetijdelijke omgeving van p aanwijzen. Maar welke gebeurtenissen worden dan aan welke raakvectoren gekoppeld?

[Math-E-Mad-X]

Kennelijk kun je de raakruimte T_p aan een punt p in de ruimtetijd interpreteren als een verzameling plaatsvectoren die gebeurtenissen in een infinitesimale ruimtetijdelijke omgeving van p aanwijzen. Maar welke gebeurtenissen worden dan aan welke raakvectoren gekoppeld?

 
Zo zou ik het niet willen omschrijven.
 
Ik zou zeggen dat als we een deeltje hebben dan kunnen we de plaats van dat deeltje (op een bepaald tijdstip) aangeven als een punt p in de ruimte-tijd manifold. Verder kunnen we de impuls van dat deeltje (op datzelfde tijdstip) aangeven als een raakvector uit de raakruimte Tp.
 
(hier moet impuls worden opgevat als de 4-impuls, dus met de energie als de 0-component)

[Professor Puntje]

Zo zou ik het niet willen omschrijven.
 
Ik zou zeggen dat als we een deeltje hebben dan kunnen we de plaats van dat deeltje (op een bepaald tijdstip) aangeven als een punt p in de ruimte-tijd manifold. Verder kunnen we de impuls van dat deeltje (op datzelfde tijdstip) aangeven als een raakvector uit de raakruimte Tp.
 
(hier moet impuls worden opgevat als de 4-impuls, dus met de energie als de 0-component)

 
Dat kan ook. Maar ik probeer mij de fysische betekenis van de metrische tensor g voor te stellen. Het ziet ernaar uit dat de metrische tensor g voor gebeurtenissen A en B in de infinitesimale omgeving van een gebeurtenis p in de ruimtetijd het ruimtetijdinterval s² oplevert. Maar g( , ) moet (wiskundig gezien) met twee raakvectoren v_A en v_B uit T_p gevoed worden. En dat brengt mij tot de vraag hoe je van gebeurtenissen A en B tot de raakvectoren v_A en v_B komt.

[Math-E-Mad-X]

Ik denk dat je beter niet naar gebeurtenissen, maar naar paden kunt kijken.
 
Dus stel we hebben een pad A over je manifold M loopt, dat door het punt p gaat, d.w.z. A is een differentieerbare afbeelding van R naar M, met A(0) = p.
Dan kun je een raakvector v_A in T_p associeren met de afgeleide van dat pad. Dus letterlijk, de vector die raakt aan het pad A.
 
Meer precies is de raakvector gedefinieerd als een equivalentie klasse van paden die door p gaan en die dezelfde richting hebben.
 
Het gaat me helaas een beetje te ver om hier een echt formele definitie te geven, daarvoor kun je beter in de literatuur duiken.

[Math-E-Mad-X]

Om het interval tussen twee gebeurtenissen A en B te berekenen moet je g(v,v) integreren over all punten in een pad dat van gebeurtenis A naar gebeurtenis B loopt., waarbij v steeds de raakvector is die 'raakt' aan dat pad.
 
Uiteraard zijn er oneindig veel paden die van A naar B lopen, dus het unieke 'interval' tussen A en B verkrijg je door het pad te kiezen waarvoor dit minimaal is.

[flappelap]

Ik merk dat je intuïtief wel aanvoelt dat je om de natuur te beschrijven geen menselijke waarnemer nodig hebt. Meer nog de natuur zal zonder informatieverwerkende eenheid ook wel doordraaien (tenslotte zal zo'n systeem wel bestaan uit deeltjes en waar zit daarvoor dan de waarnemer?). Kortom de term natuur behoeft geen waarnemer en als deze term gebruikt wordt in de fysica is dit louter een metafoor om een coördinatensysteem aan te duiden

Een subtiliteit hieromtrent die mij verwarde toen ik ART leerde, was dat een coördinatentransformatie fysisch niet altijd als een verandering van waarnemer geïnterpreteerd hoeft te worden. Zo kun je van Cartesische naar bolcoördinaten overgaan "voor dezelfde waarnemer" (Als Henkie een zwart gat beschrijft, mag hij coördinaten gebruiken zoals hij dat wil).

Ik ben met je eens dat het begrip "waarnemer" überhaupt verwarrend kan werken, en dat je meestal net zo goed als synoniem "coördinatenstelsel" kunt gebruiken. Maar zoals Professorpuntje opmerkt, niet elk coördinatenstelsel correspondeert met een waarnemer; denk aan lichtkegelcoördinaten (die je in snaartheorie veel gebruikt). Er bestaat geen Lorentztransformatie waarmee je van een (inertiaal)waarnemer naar een "lichtkegelwaarnemer" kunt transformeren.

-edit verkeerd gelezen

[flappelap]

Nu ik er zo over nadenk: in de SRT hoef je je natuurlijk niet te beperken tot inertiaalwaarnemers en Lorentztransformaties. Maar het lijkt mij dat je geen fysieke waarnemer kunt hengelen aan die lichtkegelcoördinaten. Welke coördinaat zou voor zo'n waarnemer bijvoorbeeld als "tijd" gelden?

Interessante vraag eigenlijk: kun je aan elk (wiskundig gedefiniëerd) coördinatenstelsel een waarnemer toedichten? Nooit goed over nagedacht, maar het voorbeeld met de lichtkegelcoördinaten (en in het algemeen de klasse van zgn. "null coordinates") doet me vermoeden dat deze niet met een fysieke waarnemer kunnen corresponderen.

Dit hangt natuurlijk af van je preciese definitie van "waarnemer", zoals peterdevis vroeg. Al in de speciale rel.theorie is dat subtiel, laat staan de subtiliteiten die je hebt in de algemene theorie. Wiki zegt b.v.

"In special relativity, an observer is a frame of reference from which a set of objects or events are being measured."

Dat lijkt mij (in de speciale rel.theorie) een klasse coördinatentransformaties te definieren waarbij je naar een stelsel gaat dat op elk moment langzamer dan het licht gaat ten opzichte van een inertiaalstelsel waar vanuit je vertrekt. Dit zorgt ervoor dat de waarnemer een tijdachtige curve aflegt in de ruimtetijd. In de alg.rel.theorie zou een soortgelijke definitie voldoen, denk ik.

Dit lijkt me ook weer een typisch voorbeeld van een hele goede en simpele vraag waar toch weinig tekstboeken aandacht aan besteden. Een snelle scan in mijn boeken geeft in elk geval niet zoveel informatie hierover. Zie b.v.

https://physics.stackexchange.com/questions/144776/formal-definition-of-an-observer

[Professor Puntje]

Zie voor een formele definitie van observer blz. 41 van General Relativity for Mathematicians van R.K. Sachs en H.-H. Wu. Ik heb dat boek op zoek naar onberispelijke definities en bewijzen ooit aangeschaft, maar dat boek gaat mij voorlopig helaas nog even boven de pet.

[peterdevis]

Ik ben de hele discussie over waarnemer vs referentiestelsel gestart omdat het begrip waarnemer te veel 'metafysica ' in zich draagt indien niet scherp gedefinieerd. Zo vind ik de definitie in het boek
General Relativity for Mathematicians van R.K. Sachs en H.-H. Wu geen definitie van waarnemer maar eerder eentje ' van lijdend voorwerp'. Wat ik wwil bepleiten is om de ART goed te verstaan je het begrip waarnemer niet nodig hebt en je je veel beter kunt concentreren op coördinatenstelsel. Tenslotte gaat een groot deel van deze theorie over coördinatentransformaties. De kritiek dat je hierdoor het empirische uit de theorie haalt is ongegrond. De ART is per definitie een wiskundig model van de werkelijkheid (elke fysische theorie trouwens). Het empirische deel van de wetenschap zit er in dat de wiskundige voorspellingen van de theorie moeten overeenkomen met de werlkelijkheid maw met de meetingen die we doen.

Ook het begrip gebeurtenis, raakruimte etc worden in de huidige discussie niet scherp genoeg omschreven .
In de ART wordt een gebeurtenis gedefinieerd als een tijdstip op een bepaalde plaats, maw één punt in de ruimtetijd. Dus niet te verwarren wat wij in de gewone spreektaal als gebeurtenis gebruiken (nl een soort van aktie, toestandsverandering….)
Al deze gebeurtenissen worden aan elkaar gesmeed door er een topologie en metriek aan te koppelen.
Deze metriek is de befaamde metrische tensor g en bepaald de vorm (meestal spreken ze van kromming) van de ruimtetijd.

Verder wil ik er nog op duiden dat het raakvlak en de raakvectoren op zich geen fysische betekenis hebben, we kunnen deze gebruiken om de snelheid te omschrijven maar even goed voor de impuls.

Om de ART onder de knie te krijgen is het nodig om de hele setup van het model zoals hierboven geschets goed te begrijpen en te gebruikte termen te ontdoen van de dagdagelijkse betekenis?

[Professor Puntje]

@ peterdevis

Daar ben ik het grotendeels mee eens. Ik streef zelf ook naar zo scherp mogelijke definities en zo streng mogelijke bewijzen. Voor mij hoeft de waarnemer ook niet zo nodig in de theorie zelf voor te komen. Mijn bezwaar geldt de identificatie van een waarnemer met een coördinatenstelsel. Een coördinatenstelsel doet geen waarnemingen en maakt zich ook geen zorgen over de vraag welke waarnemingen in principe mogelijk of onmogelijk zijn. Maar zulke vragen zijn wel interessant in verband met de empirische toetsing van de ART. Die identificatie van coördinatenstelsel en waarnemer kan daarom beter achterwege blijven.

[Professor Puntje]

Onderstaand heb ik in mijn eigen woorden beschreven hoe ik een en ander nu denk te begrijpen. Graag commentaar.   
 
 
Laat M een Lorentzvariëteit zijn. Op ieder punt van M is dus een bijbehorende metrische tensor g( , ) gegeven. In deze variëteit liggen de punten A en B waartussen we de "ruimtetijdelijke afstand" d_w (wat is de officiële naam?) langs pad w willen weten.

 

Onder F verstaan we de verzameling van alle gladde (dat is willekeurig vaak differentieerbare) functies f van M naar R. Dus is f_ºγ dan voor alle gladde paden γ: R → M een gladde functie van R naar R, en dus bestaat voor alle f uit F dan ook de afgeleide functie (f_ºγ)'. Laat p nu een punt op M zijn, en stop al de gladde paden γ: R → M waarvoor γ(0) = p in de verzameling Vp. Twee gladde paden γ₁ en γ₂ uit Vp noemen we nu equivalent precies dan wanneer de functionalen K₁(f) = (f_ºγ₁)'(0) en K₂(f) = (f_ºγ₂)'(0) op F identiek zijn. De raakvectoren v_p aan p zijn dan per definitie de equivalentieklassen van equivalente gladde paden waarin Vp door de vermelde equivalentierelatie opgedeeld wordt.

 

De som u_p + v_p van twee raakvectoren u_p = [γ_u] en v_p = [γ_v] aan p definiëren we als de equivalentieklasse van alle paden γ waarvoor de functionaal W(f) = (f_ºγ)'(0) op F identiek is aan de som van de functionalen U(f) = (f_ºγ_u)'(0) en V(f) = (f_ºγ_v)'(0) op F.

 

Het scalaire product c . v_p van een reëel getal c en een raakvector v_p = [γ_v] aan p definiëren we als de equivalentieklasse van alle paden γ waarvoor de functionaal V(f) = (f_ºγ)'(0) op F identiek is aan de functionaal W(f) = c.(f_ºγ_v)'(0) op F.

 

Men kan bewijzen dat de gegeven definities voor de som en het scalaire product deugdelijk zijn en dat de verzameling T_p van equivalentieklassen van gladde paden uit V_p tezamen met de som en het scalaire product een vectorruimte vormt. Merk verder op dat p willekeurig in M gekozen is, zodat het verhaal voor alle punten in M opgaat.

 

 

Intuïtief zijn twee equivalente paden uit Vp in een infinitesimale ruimtetijdelijke omgeving van p aan elkaar gelijk en is (f_ºγ)'(0) over heel F beschouwd recht evenredig met de "snelheid" waarmee γ(λ) als functie van parameter λ door M beweegt. De functies uit F zijn daarbij te zien als testfuncties die dergelijke beschouwingen binnen M mogelijk maken. Voor een pad w dat achtereenvolgens door A = w(a), p = w(0) en B = w(b) loopt ligt het dan voor de hand om de "ruimtetijdelijke afstand" d_w langs dat pad te definiëren als:

 

\( \mbox{d_w} = \int_a^b \sqrt{ | \mbox{g}( \mathbf{v}_{w(\lambda)} , \mathbf{v}_{w(\lambda)} ) | } \,\, \mbox{d} \lambda \)

De metrische tensor g( , ) komt daarbij vanwege relativistische effecten en gekromde ruimtetijd in de plaats van het euclidische inproduct.

[Math-E-Mad-X]

Dat lijkt me allemaal correct
 
(maar ik durf het niet met 100% procent zekerheid te zeggen, want het is iets te lang geleden dat ik me serieus met dit soort dingen bezig hield.)

[Professor Puntje]

Dat lijkt me allemaal correct
 
(maar ik durf het niet met 100% procent zekerheid te zeggen, want het is iets te lang geleden dat ik me serieus met dit soort dingen bezig hield.)

 
Mooi - dan kan ik er in elk geval niet al te ver naast zitten.
 
En dan wacht ik ter bevestiging (of ontkenning) nog even op het oordeel van de andere deelnemers aan deze discussie.  

[peterdevis]

Je afleiding van de raakvlakvectorruimte zit helemaal goed. Je moet je er wel goed van bewust zijn dat  deze vectorruimte een louter wiskundig object is  en op zich geen fysische betekenis heeft. Besef dat de variëteit waar je van vertrokken bent niet ingebed is in een hogere dimensie, en dat de raakvectoren dus niet in of buiten de variëteit liggen.
Het vervolg is nu een goede basis te kiezen voor deze vectorruimte, zodanig dat de coordinaten van de vectoren op de juiste wijze mee transformen bij een coördinatentransformatie van de variëteit