Wiskunde van de ART

[Professor Puntje]

Ik ben nu van plan (en ben daar al mee bezig) om eerst de door Th.B gelinkte pdf drie maal vluchtig door te nemen om zo alvast een idee te krijgen van de globale opbouw van de theorie. Daarna stap ik dan over op Chen ea: Lectures on Differential Geometry voor het grondiger werk.

 
Ik heb de pdf nu twee keer doorgenomen, en daar laat ik het bij. Drie keer kan ik niet opbrengen. Ik ga nu Chen ea: Lectures on Differential Geometry bestuderen.

[Professor Puntje]

Ik ga nu Chen ea: Lectures on Differential Geometry bestuderen.

 
Ik ben eraan begonnen. Het boek bevat een heldere presentatie, maar vliegt met een noodgang door de stof heen. Het is - voor mij als beginner - dus vooral bruikbaar als overzichtswerk, waarbij details van elders moeten worden aangevuld.
 
Het eerste dat ik niet direct begrijp staat op blz. 9 en verder waar covectoren aan een punt p in een variëteit via "germs" worden geïntroduceerd. De raakvectoren komen zo dus na de covectoren.

[Th.B]

Helaas heb ik het boek zelf niet. Als je een scan stuurt kan ik je misschien helpen. Die 'germs' zijn inderdaad nog een andere manier om de raakruimte aan een variëteit op een zinvolle manier in te voeren. Het 'lokale' gedrag van functies wordt hier als uitgangspunt genomen: grof gezegd worden functies die hetzelfde gedrag hebben in een omgeving van een punt met elkaar geïdentificeerd. Dan worden de derivaties (raakvectoren) gedefinieerd als functionalen op deze algebra van 'germs'.

[Professor Puntje]

Inmiddels begrijp ik het (met moeite) wel, maar de constructie ziet er nogal omslachtig uit. Zie:
 
https://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/3812/suppl_file/3812_chap1_2.pdf

[Professor Puntje]

Na enige andere bezigheden heb ik het lezen van Chen ea: Lectures on Differential Geometry weer opgepakt. Het is zware kost! Bijna iedere bladzijde vergt zwaar denkwerk om het betoog te volgen. Is dat normaal voor zulke boeken? Of kan ik beter eerst een wat makkelijker boek over differentiaalmeetkunde lezen? 

[flappelap]

Na enige andere bezigheden heb ik het lezen van Chen ea: Lectures on Differential Geometry weer opgepakt. Het is zware kost! Bijna iedere bladzijde vergt zwaar denkwerk om het betoog te volgen. Is dat normaal voor zulke boeken? Of kan ik beter eerst een wat makkelijker boek over differentiaalmeetkunde lezen?

Dat soort boeken worden wel wat makkelijker verteerbaar als je er heel veel tijd in steekt en opgaven maakt. Persoonlijk ben ik er niet meer zo van, en ik denk dat als je niet de ambitie hebt om hier heel veel tijd in te steken en daadwerkelijk zaken mee door te rekenen, je je tijd verdoet (tenzij je er heel veel lol aan besteed om dat soort boeken door te ploegen). Ik vind zelf veel zuivere wiskundeteksten met natuurkundige toepassingen te formeel. Ik heb bijvoorbeeld ook nogal wat tijd besteed aan groepentheorie, en dan met name de rol van centrale extensies en andere deformaties van Lie-algebra's. Dat kun je erg formeel aanpakken met Chevally-Eihlenberg cohomologieën. Prachtig stukje differentiaalmeetkunde, maar na het lezen ervan had ik niet de indruk dat ik de fysische kant beter ging begrijpen. Hele simpele vragen van mijn promotor kon ik alleen beantwoorden met een berg formele uitdrukkingen die ik eigenlijk gewoon reproduceerde uit een boek.

Ik ben het pas gaan begrijpen door met een paar mensen te praten en voor mezelf simpele gevallen door te rekenen. Dat is denk ik altijd een goede gedachte om in je achterhoofd te houden: kan ik met wat ik lees zelf eenvoudige zaken doorrekenen? Anders doe je al gauw iets dat neigt naar b.v. heel veel kookboeken lezen zonder ooit in de keuken te staan. Als je dat leuk vindt, prima. Maar je leert er imo geen koken van en dat moet je dan ook niet verwachten.

Ik raad mensen nog steeds vaak Zee's GR boek aan als ze algemene relativiteit willen begrijpen,

https://www.amazon.com/Einstein-Gravity-Nutshell-Zee/dp/069114558X

Waarom? Ik denk vooral omdat in zo'n boek het plezier er vanaf spat. Ik vind het een fantastisch leuk boek om te lezen. En ik denk dat, zeker als je het voor de hobby doet, dat enorm belangrijk is om uiteindelijk daar te komen waar je wilt komen.

[Professor Puntje]

@ flappelap

Hartelijk dank! Ik zal die goede raad voordat ik verder ga eerst eens even goed laten bezinken. Ik heb inderdaad de indruk dat mijn fysische inzicht in de ART niet noemenswaardig toeneemt met dat doorploegen van al die formele constructies binnen de differentiaalmeetkunde. Het lijkt er een beetje op alsof je een constructie van de reële getallen zou bestuderen om de klassieke dynamica beter te kunnen begrijpen. Dat is dan inderdaad het paard achter de wagen, want de praktisch en fysische toepassingen van de infinitesimaalrekening zijn veel ouder dan de rigoureuze onderbouwing van de analyse.

Ik heb dat boek van Zee via internet wel even bekeken, maar het stond mij door de niet rigoureuze aanpak al direct geweldig tegen. Toch is zo'n boek wellicht juist wat ik nodig heb om enig fysisch inzicht in de ART te verkrijgen....

 

[HansH]

Heb je deze site al eens gezien?
http://www.voorbijeinstein.nl/html/artikel_art.htm
Die meneer heeft volgens mij wel een engelengeduld om alles tot in de puntjes uit te zoeken en uit te leggen en probeert ook te voorkomen dat er dingen uit de lucht komen vallen, en hij zegt zelf dat er in heel wat boeken van alles en nog wat zomaar uit de lucht komt vallen met als gevolg dat het niet te volgen is. En dat heb ik ook al een paar keer ervaren. Je wordt vaak geconfronteert met onderwerp A waarvoor je eerst B moet bestuderen om A te kunnen volgen en dan moet je voor B weer eerst C snappen en voor C moet je weer eerst A snappen en dan ben je dus rond. Het is daarom een gave van mensen om iets wel goed uit te kunnen leggen en die gave hebben er maar zeer weinig, vooral beta mensen kunnen dat niet. Denk dat deze meneer die gave wel heeft, hoewel ik zelf maar een deel heb doorgenomen.   

[Professor Puntje]

Dat ziet er goed uit. Op het moment ben er niet meer mee bezig, maar mocht je in dit topic iets wiskundigs vanaf die website aan de orde willen stellen om dat nader uit te diepen dan wil ik de draad hier graag weer oppakken.

[HansH]

Dat ziet er goed uit. Op het moment ben er niet meer mee bezig, maar mocht je in dit topic iets wiskundigs vanaf die website aan de orde willen stellen om dat nader uit te diepen dan wil ik de draad hier graag weer oppakken.

zie bv
http://www.voorbijeinstein.nl/html/artikel_art_paragraaf_04.htmboven vergelijking 4.7
daar staat:
 In vergelijking (4.2) zijn de ruimtecoördinaten met een minteken aangegeven en de tijdcoördinaat met een plusteken. Waarom eigenlijk? 
 
als je dan verder leest zou ik het antwoord op die vraag verwachten, maar 2 bladzijdes met formules later ben ik het antwoord nog steeds niet tegengekomen. of mis ik iets?

[Professor Puntje]

Dat is gedaan omdat het zó gedefinieerde interval interessante eigenschappen heeft, en die worden in de verdere tekst onderzocht. Het simpele feit dat het verdere verhaal interessant is vormt voldoende bewijs dat de plus voor de tijd in de definitie een vruchtbare keuze is. Meer dan vruchtbaarheid is voor een definitie niet nodig.
 
Neemt niet weg dat je zelf een H-interval zou kunnen definiëren waarin de ruimte- en tijdcoördinaten hetzelfde teken hebben (of nog iets anders). Maar daar zullen dan vanzelf ook andere eigenschappen voor gelden.

[Professor Puntje]

Laat een foton in vacuüm achtereenvolgens door twee poortjes vliegen, eerst door poortje A (dat noemen we gebeurtenis G_a) en daarna door poortje B (dat noemen we gebeurtenis G_b). Een inertiaalwaarnemer meet dan:
 
x_a = x-positie G_a
x_b = x-positie G_b
 
y_a = y-positie G_a
y_b = y-positie G_b
 
z_a = z-positie G_a
z_b = z-positie G_b
 
t_a = tijdstip G_a
t_b = tijdstip G_b
 
Omdat het een foton betreft hebben we dan:
 

\( \frac{\sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}}{t_b - t_a} = c \)

 

\( \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2} = c \cdot (t_b - t_a) \)

 

\( (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 = c^2 (t_b - t_a)^2 \)

 

\( (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 - c^2 (t_b - t_a)^2 = 0 \)

 
En dus ook:
 

\( -(x_b - x_a)^2 - (y_b - y_a)^2 - (z_b - z_a)^2 + c^2 (t_b - t_a)^2 = 0 \)

 
Let wel dat dit voor alle inertiaalwaarnemers geldt, en dat maakt de betreffende uitdrukking ook interessant. Nu was dit een bijzondere situatie met een foton, maar er is dus wel alle reden te onderzoeken hoe het in het algemeen met het interval tussen twee gebeurtenissen gesteld is. En zo kom je op de definitie van je link uit.

[HansH]

misschien kun je dit eens in een plaatje weergeven. Dit soort formules zijn voor mij (en voor anderen ook neem ik aan) veel inzichtelijker te maken als er plaatjes bijstaan met punten met coordinaten en lijnen. Ik neem aan dat de reden is dat je in de toekomst kijkt wen niet in het verleden  

[flappelap]

zie bv
http://www.voorbijeinstein.nl/html/artikel_art_paragraaf_04.htmboven vergelijking 4.7
daar staat:
 In vergelijking (4.2) zijn de ruimtecoördinaten met een minteken aangegeven en de tijdcoördinaat met een plusteken. Waarom eigenlijk? [/size]
 
als je dan verder leest zou ik het antwoord op die vraag verwachten, maar 2 bladzijdes met formules later ben ik het antwoord nog steeds niet tegengekomen. of mis ik iets?[/size]

Omdat dit ruimtetijd interval het interval is dat invariant wordt gehouden voor alle waarnemers die met constante snelheid reizen (onder de beide aannames van de spec.rel.theorie). Met b.v. alleen maar plustekens zou je geen ruimtetijd hebben, maar alleen ruimte. Ga bijvoorbeeld maar eens terug naar de afleiding m.b.v. de fotonklok.

Het relatieve teken tussen ruimte en tijd is overigens een conventie. Tegenwoordig wordt vaak voor de tijd het min-teken gebruikt, zodat voor t=constant het ruimtetijdinterval puur ruimtelijk geïnterpreteerd kan worden (in het geval van de spec.rel.theorie: Euclidisch)

Heb je deze site al eens gezien?
http://www.voorbijeinstein.nl/html/artikel_art.htm
Die meneer heeft volgens mij wel een engelengeduld om alles tot in de puntjes uit te zoeken en uit te leggen en probeert ook te voorkomen dat er dingen uit de lucht komen vallen, en hij zegt zelf dat er in heel wat boeken van alles en nog wat zomaar uit de lucht komt vallen met als gevolg dat het niet te volgen is. En dat heb ik ook al een paar keer ervaren. Je wordt vaak geconfronteert met onderwerp A waarvoor je eerst B moet bestuderen om A te kunnen volgen en dan moet je voor B weer eerst C snappen en voor C moet je weer eerst A snappen en dan ben je dus rond. Het is daarom een gave van mensen om iets wel goed uit te kunnen leggen en die gave hebben er maar zeer weinig, vooral beta mensen kunnen dat niet. Denk dat deze meneer die gave wel heeft, hoewel ik zelf maar een deel heb doorgenomen.

Wat hij doet, lijkt een uiteenzetting te zijn van Einsteins originele papers. Ik heb het al es eerder gezegd, maar ik zou persoonlijk het afraden om de alg.rel.theorie hiermee te leren. Als mensen b.v. de kwantummechanica willen leren, zou ik ze ook zeker niet aanraden om de oorspronkelijke papers erbij te pakken. Dat kan al gauw verwarrend zijn.
Zo zie je bijvoorbeeld hier,

http://www.voorbijeinstein.nl/html/artikel_art_paragraaf_15.htm

dat Einstein een coördinatenbeperking oplegt (de wortel van minus de determinant van de metriek is gelijk aan 1), iets waarvan we nu weten dat dat overbodig is. Ik zie dat verder ook niet echt toegelicht worden, maar wellicht zie ik wat over het hoofd.

Verder wel een leuke site, trouwens; je ziet dat hij er veel tijd in heeft gestoken.

[Professor Puntje]

misschien kun je dit eens in een plaatje weergeven. Dit soort formules zijn voor mij (en voor anderen ook neem ik aan) veel inzichtelijker te maken als er plaatjes bijstaan met punten met coordinaten en lijnen. Ik neem aan dat de reden is dat je in de toekomst kijkt wen niet in het verleden  

 
Het door jou gelinkte artikel zelf bevat al bijpassende plaatjes.
 
Als je de ruimtetijdelijke mate waarin gebeurtenissen van elkaar verwijderd zijn wilt uitdrukken in een getal dat voor alle inertiaalwaarnemers hetzelfde is, moet dat ook gelden voor die paren gebeurtenissen waarvoor dat getal op nul uitkomt. Dat maakt de formule die ik uit de invariantie van de lichtsnelheid heb afgeleid (en die ook in het gelinkte artikel wordt gebruikt) een goede kandidaat voor zo'n invariante maat. Of we in de toekomst of het verleden kijken staat daar dan los van.
 
Definities kunnen overigens niet waar of onwaar zijn, maar enkel vruchtbaar of niet vruchtbaar. De gekozen definitie blijkt vooral vanwege haar invariantie vruchtbaar. Ik denk niet dat er heel veel meer over valt te zeggen...