Opstellen 2e orde DV adhv de gegeven oplossing (help morgen examen)

[Wiskundeblunder]

Beste wiskundefanaten
 
Grote paniek sinds ik onderstaande 2 voorbeeldexamenvraag bekeken heb. Ik weet totaal niet hoe je dit doet, we hebben het in de les enkel in omgekeerde volgorde gezien (namelijk DV gegeven en dan de oplossing bepalen). Iemand die mijn reddende engel speelt en dit op een simpele en duidelijke manier kan oplossen?
 
Alvast bedankt!

[NW_]

Waar is de vraag?

[Wiskundeblunder]

Oeps! Hier is ie dan!

[Wiskundeblunder]

Voor die 2e geraak ik tot hier en dan weet ik niet hoe ik verder moet om die specifieke PO (particuliere oplossing) te vinden
 
 

[jorw]

Ik denk dat het zo moet, excuseer me als het niet zo is, maar heb het maar rap bekeken aangezien je morgen examen hebt.

Je weet dat de coëfficiënt van y^" gelijk is aan 1, dus deze is al bepaald. Reken nu nog eens y^' en y^" en stel dan dat y^" + A y^' + B y = C, waarbij A en B een constante moet zijn en C een functie. Vul hier dan alles in en zorg ervoor dat je C₁ en C₂ wegvallen. (Stelsel van 2 vergelijkingen, 2 onbekenden). C is wat je hierna nog overhoudt.
 
Edit: Is inderdaad zo dat je het zult moeten oplossen.

[TD]

Je weet dat de algemene oplossing bestaat uit de oplossing van de bijhorende homogene differentiaalvergelijking aangevuld met een particuliere oplossing.
 

\(y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}+e^{5x}\)

 
Redeneer omgekeerd: de karakteristieke vergelijking levert je nulpunten die hierboven de exponenten 2 en 3 van het homogene deel zouden opleveren. Nu wil je dat 2 en 3 de oplossingen zijn van de karakteristieke vergelijking, dus van (k-2)(k-3) = 0 dus van k²-5k+6 = 0.  Deze karakteristieke vergelijking hoort bij de homogene differentiaalvergelijking y''-5y'+6y = 0.
 
De volledige differentiaalvergelijking zal dus van de vorm y''-5y'+6y = f(x) zijn waarbij je f(x) nog moet bepalen zodat de gegeven particuliere oplossing, e^5x, eraan voldoet. Gewoon invullen: substitueer e^5x in het linkerlid en vereenvoudig, je vindt zo f(x).

[Wiskundeblunder]

Bedankt voor je antwoord, Jorw! Je methode is me niet direct duidelijk maar ik heb intussen een redenering die bij beide juist uitkomt, dus ik hoop dat dit geen toeval is en ik dus heb gevonden hoe het moet
 
TD: ik denk dat ik het op jouw methode heb opgelost! 

[TD]

TD: ik denk dat ik het op jouw methode heb opgelost! 

 
Inderdaad. Als je van de ontbinding vertrekt en dan gewoon de haakjes weer uitwerkt, gaat het wat sneller denk ik. De complexe oplossingen van de karakteristieke vergelijking horend bij de gegeven homogene oplossing zijn 2+7i en 2-7i, dus de karakteristieke vergelijking kan ontbonden worden als (k-(2+7i))(k-(2-7i)) = 0. Nu gewoon haakjes uitwerken levert onmiddellijk k²-4k+53 = 0 en dat stemt overeen met y''-4'+53 = 0. Voor het rechterlid f(x) en het verband met de particuliere oplossing, zie hierboven .
 
Succes met je examen morgen.