Vijfdegraadsfunctie opgelost?

[Bert]

Met je eerste alinea ben ik het uiteraard helemaal eens. Maar bij je tweede heb ik een onduidelijkheid. Je zegt daar dat "het natuurlijk niet a priori onmogelijk is het getal systeem verder uit te breiden met algebraische getallen waarin de algemene oplossing van de 5e graads vergelijking kan worden uitgedrukt." Maar dan mogen deze algebraische getallen niet in een eindig aantal bewerkingen met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken te bepalen zijn, want anders is het in tegenspraak met Galois. Correct? Dat wil dan dus zeggen dat zijn uitbreiding bestaat uit getallen welke niet in een eindig aantal stappen te bepalen zijn. Waarom noem je dat dan een analytische oplossing en geen numerieke (benaderde) oplossing?

In de link van Xardas http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html worden de wortels van de 5e graadsvergelijking uitgedrukt in speciale algebraische getallen die door middel van een reekssontwikkeling moeten worden berekend. Maar worteltrekken is (in het algemeen) ook geen eindige bewerking: de getalswaarde van wortel 2 wordt numeriek benaderd. Het lijkt alleen maar eindig omdat we de gewoonte hebben de wortels te laten staan.

Op http://www.desda.sci.kun.nl/home/~grooten/...ieen/abel.shtml kwam ik nog het volgende in dit verband aardige opvatting van Gauss over dit onderwerp tegen:

"[Abel] kreeg echter te horen dat Gauss geen interesse had in zijn werk. Vermoedelijk omdat hij [dwz Gauss] geen belang hechtte aan het oplossen van algebraïsche vergelijkingen, hoewel hij Abel's werk nooit heeft gelezen. In 1801 schreef Gauss echter dat 'de oplossing van een algebraïsche vergelijking niet meer voorstelt dan een symbool definiëren voor de wortel van de vergelijking en vervolgens zeggen dat de oplossing en het symbool gelijk aan elkaar zijn.'"

[Elmo]

Ik het kader van geschiedenis ophalen, weet ik ook nog een leuke:

Galois wordt algemeen erkend als een zeer belangrijk en geniaal wiskundige. Toch stierf hij al op zijn 21ste. Hij had namelijk een meisje geprobeerd te versieren en dat vond een andere man niet zo leuk... gevolg: een duel (pistolen) bij zonsopkomst. Allemaal heel erg romantisch, alleen het liep helaas niet zo goed af voor Galois. De avond en nacht voordat hij moest dueleren, werkte Galois koortsachtig aan zijn laatste, en in sommige opzichten belangrijkste, bijdragen aan de wiskunde: zeg maar zijn wiskundige testament. Op 30 mei 1832 werd hij 's ochtends vroeg in zijn buik geschoten. De volgende dag stierf hij. Zijn wiskunde was zo diepzinnig dat het tot 1843 duurde voordat zijn tijdgenoten realizeerden dat hij het probleem wat we hier bespreken (zie boven) opgelost had. In 1846 werd het bewijs pas voor het eerst gepubliceerd.

Verder, voor mensen die een ruwe versie van het bewijs van Galois willen zien: ik raad deze site aan (hij is nog in het Nederlands ook!).

[Anonymous]

als ik hem was, dan zou ik eerst denken aan de hoek die de kogel maakt met de inverse functie van de top van de parabool in omgeschreven cirkel van zijn buik.. misschien had hij het toch overleefd.

[goldsteen]

2x^5+3x^4+2x^3+3x^2+2x+10 = 0

Dus is dit puur toeval?Ja toch?

Zie voor vorderingen hieromtrent mijn topic "algemeen onderzoek 5e graads functies"

[sajajpm]

Ik heb een algemeen vijfde graads functie weten op te lossen met behulp van de kubus van Girolamo Cardano (1501-1576). Het gaat als volg:
 

Quintic equation formula2

(16.97 KiB) 280 keer gedownload

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

[sajajpm]

De kubus van Girolamo Cardano vind je op dit site:
 
http://aspalsbury.people.ysu.edu/forstudents/Cardano'sCube.jpg

[Th.B]

Dat gaat niet werken... probeer je methode eens toe te passen op iets als f(x) = x⁵ + x + 1.

[sajajpm]

Voor de vergelijking x⁵ + x + 1= 0 heb ik ook een oplossing. Zie mijn bijlage.

vijfdegraads

(20.68 KiB) 278 keer gedownload

[Th.B]

Op de tweede regel komt er ineens een term van vierde graad bij...
Maar goed, laten we dan maar veronderstellen dat je de vergelijking (x+1)x⁴ + (b/a)x=-c/a probeert op te lossen. Het gaat fout bij het stuk 'dus kunnen we stellen dat...' (gevolgd door 3 vergelijkingen met 3 onbekenden). Die coëfficiënten hoeven niet aan elkaar gelijk te zijn. Je hebt eigenlijk 4 vergelijkingen met 3 onbekenden, want je gebruikt ook nog eens dat x = t-u. Daarna zie je dus dat het mis gaat, want je berekent t zowel uit de tweede als de derde vergelijking. Die twee t's zijn niet (per se) hetzelfde.
 
Als je nou gewoon eens het voorbeeld wat ik je gaf helemaal doorrekent met je methode snap je vast wat ik je probeer te zeggen (doe anders voor mijn part iets als x⁵ + 3x⁴ + x + 7 = 0.

[sajajpm]

Je hebt gelijk.(1+x)x^4 is niet gelijk aan x^5. Ik ga mijn oplossing helemaal hervormen. Je hoort nog van mij. Om de quintic equation formula beter te begrijpen kan je beter deze bijlage bekijken:

Vijfdegraads vergelijking

(17.95 KiB) 407 keer gedownload

Groeten, Paul

[317070]

Je hebt gelijk.(1+x)x^4 is niet gelijk aan x^5. Ik ga mijn oplossing helemaal hervormen. Je hoort nog van mij. Om de quintic equation formula beter te begrijpen kan je beter deze bijlage bekijken:Vijfdegraads vergelijking.docx Groeten, Paul

Kun je eens uitwerken wat volgens jou de oplossing is van 
 
a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2 + e x + f = 0 ?

[Th.B]

Je begrijpt je denkfout nog steeds niet als ik zo naar dat document kijk...

[sajajpm]

de bijlage:

Vijfdegraads vergelijking

(17.78 KiB) 408 keer gedownload

klopt niet, ik ben bezig voor een oplossing voor x^5+x+1 en ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex^+f=0

[tempelier]

de bijlage:Vijfdegraads vergelijking.docx klopt niet, ik ben bezig voor een oplossing voor x^5+x+1 en ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex^+f=0

Dat valt voor nummer 1 wel mee, immers:
 

\(x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

[sajajpm]

Voor Th.B heb ik de vijfdegraadsvergelijking x^5+x+1 ook kunnen oplossen, zij mijn bijlage.

vijfdegraads

(21.38 KiB) 338 keer gedownload