Orthonormale basis

[piet klaassen]

Beste mensen van het wetenschapsforum,

Ik ben bezig met het studeren voon lineaire analyse en ik ben nu bezig met een oefententamen. Vraag 4 is:

Zij V een inproductruimte en zij U een unitaire afbeelding van V naar V. Verder is gegeven dat E = {e1,e2,.....,en}

een orthonormale basis is van V

Toon aan dat S = {Ue1,Ue2,.....,Uen} ook een orthonormale basis is van V

Nu heb ik dat zo opgelost:

x in V

1)||x|| = SUM |<x,Ue1>|^2

2) = |<x,Ue1>|^2+ |<x,Ue2>|^2+ ..... +|<x,Uen>|^2

3) = |<Ux+x_loodrecht1,Ue1>|^2+ |<Ux+x_loodrecht2,Ue2>|^2+ ..... +|<Ux+x_loodrechtn,Uen>|^2

4) = |<x,U*Ue1>|^2+ |<x,U*Ue2>|^2+ ..... +|<x,U*Uen>|^2

5) = |<x,e1>|^2+ |<x,e2>|^2+ ..... +|<x,en>|^2

6) = SUM |<x,e>|^2

7) = ||x||

Bij stap 1 maak ik gebruik van parseval. Dan bij stap 5 maak ik gebruik dat de operator unitair is.

Mijn vraag is: Klopt dit wat ik heb opgeschreven?

Zo nee, zit ik in de goede richting? Zo ja, Is dit een nette manier van opschrijven?

Mvg,

piet

[Drieske]

Ik snap niet wat je met die berekening wilt doen of denkt te bereiken... Daarenboven geldt Parseval enkel (met zekerheid) als je een orthonormale basis hebt, dus ben je daar ook niets bij.

Waarom pas je niet gewoon de definitie toe? Wanneer zijn 2 vectoren orthonormaal?

[piet klaassen]

Beste Drieske,

2 vectoren zijn toch orthonormaal als het volgende geldt:

||ek|| = 1 voor all k

ek loodrecht op ej voor alle k is niet gelijk aan j

Hoe moet ik dat dan nu verder doen? Mag je dan U keer de basis doen en dan zeggen dat dat ook een orthonormale basis is?

mvg,

Piet

[Drieske]

2 vectoren zijn toch orthonormaal als het volgende geldt:

||ek|| = 1 voor all k

ek loodrecht op ej voor alle k is niet gelijk aan j

Klopt. Korter genoteerd:

\(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\)

met

\(\delta_{ij} = \begin{cases}0 & \mbox{ als }i \neq j \\ 1 & \mbox{ als }i=j\end{cases}\)

.

In jouw geval moet je dus berekenen:

\(\langle Ue_i, Ue_j \rangle\)

wetende dat

\(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\)

en U unitair. Niet zo moeilijk, toch? Let wet: dat bewijst nog niet dat het een basis!

[piet klaassen]

Beste Drieske

Okay dus:

\(\langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, U^*Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangle\)

Moet je dan nog aantonen dat de basis {Ue1,.....,Uen} lineair onafhankelijk is?

mvg,

piet

[Drieske]

Moet je dan nog aantonen dat de basis {Ue1,.....,Uen} lineair onafhankelijk is?

A priori weet je het niet dat een basis is, dus dat woord zou ik daar nog niet gebruiken . Er zijn verschillende methodes om te bewijzen dat iets een basis is. Je weet in deze één zaak: {e1, ..., en} vormen een basis. Dat ga je dus erin moeten verwerken.

Begrijp je overigens waarom Parseval hier niet werkt? En wat wou je aantonen met: ||x|| = ... = ||x||?

[piet klaassen]

Ik probeerde aan te tonen dat

SUM |<x,Ue1>|^2 = SUM |<x,e>|^2

want ik dacht als dat zou gelden dan zou S ={Ue1,.....,Uen} ook een basis zijn maar ik begrijp nu dat parseval gaat over de benaderingsfout.

Maar nu ik weet dat:

\(\langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangleAls E een orhonormale basis mag een x in V geschreven worden als:x = $\sum_{e \in E} \langle x, en \rangleEn net hebben we bewezen dan \langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangledus dan kanx = $\sum_{e \in E} \langle x, Uen \rangleook gelden of klopt dat niet?\)

[Drieske]

\(\langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangleAls E een orhonormale basis mag een x in V geschreven worden als:x = $\sum_{e \in E} \langle x, en \rangleEn net hebben we bewezen dan \langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangledus dan kanx = $\sum_{e \in E} \langle x, Uen \rangleook gelden of klopt dat niet?\)

Wat denk je zelf?

Maar los daarvan: je denkt te moeilijk. Je kunt heel makkelijk aantonen (je moet dit zelfs zo zien!) dat orthonormale vectoren lineair onafhankelijk zijn. Je hebt dus n lineair onafhankelijke vectoren gevonden in een n-dimensionale ruimte... Dus een maximaal vrij deel. Bijgevolg moet... (maak nu zelf af.)

[piet klaassen]

Maar als ik n onafhankelijke vectoren heb gevonden in een n-dimensionale ruimte dan wordt die n-dimensionale ruimte opgespannen door die n onafhankelijke vectoren?

Dan is het toch bewezen dat dat het een basis is van de ruimte?

[Drieske]

Dan is het toch bewezen dat dat het een basis is van de ruimte?

Jazeker. Dat is mijn punt ook net... Dat {e1, ..., en} orthonormaal zijn had je dus nodig. Dat ze een basis vormen voor je ruimte ook. Waar gebruik je dat? Dat is subtieler dan het lijkt!

[piet klaassen]

gebruik je dat niet in de definitie van orthonormaal?

Bedankt in ieder geval voor je hulp!

[Drieske]

gebruik je dat niet in de definitie van orthonormaal?

Wat bedoel je hiermee?

Vraag: ik zei dat je een ruimte van dimensie n hebt. Waarom?

[piet klaassen]

Waarom het n-dimensionaal is? Dat is toch omdat de een basis van dit {e1,.....,en} is en dan wordt de dimensie toch ook n?

[Drieske]

Waarom het n-dimensionaal is? Dat is toch omdat de een basis van dit {e1,.....,en} is en dan wordt de dimensie toch ook n?

Inderdaad. En daar gebruik je dus dat {e1, ..., en} een basis vormen. Maar ik heb het gevoel dat het je niet helemaal duidelijk is. Klopt dat of vergis ik mij?

[piet klaassen]

Ja in het begin was het mij niet helemaal duidelijk maar nu is dat wel.

Ik heb vooral veel moeite met het abstracte niveau. Daardoor ga ik te moeilijk denken, want toen ik vraag las had ik al begrepen dat de dimensie n is want er zijn n elementen in de basis.

Aankomende woensdag is het tentamen dus ik heb nog veel te doen.