Orthonormale basis

[hwgxx7]

Volgende oefening vindt ik moeilijk te interpreteren:

voor de ruimte

\(R_n[x]\)

geldt volgende scalair product:

\(<p(x),q(x)>=\int_{0}^{1}p(x)q(x)dx\)

.

Vectoren

\(\overrightarrow{y_1}=1\)

en

\(\overrightarrow{y_2}=2x-1\)

zijn gedefineerd.

Ik heb reeds a.d.h.v. het scalaire product berekend:

\(\vert\vert \overrightarrow{y_1} \vert\vert = 1\)

en

\(\vert\vert \overrightarrow{y_2} \vert\vert = \frac{\sqrt(3)}{3}\)

Echter stelt met dat vectoren y1 en y2 orthogonaal zijn...Hoe kan dit? Is het een foute interpretatie indien ik stel dat beide vectoren in het 'xy' vlak zijn gelegen ?

Men trekt ook de conclusie dat

\(\{\overrightarrow{y_1},\sqrt(3)\overrightarrow{y_2}\}\)

een orthonormale basis is voor

\(R_n[x]\)

Graag had ik geweten of dit wel degelijk correct is, en waar ik het fout zie.

Dankjewel.

[Xenion]

Echter stelt met dat vectoren y1 en y2 orthogonaal zijn...Hoe kan dit?

Wat krijg je als je het scalair product van de 2 uitwerkt?

[Revelation]

Voor twee orthogonale vectoren geldt dat hun inproduct 0 is. Dit komt omdat het inproduct een maat is van hoeveel twee vectoren op elkaar lijken. Als je orthogonale vectoren hebt, zijn ze totaal anders (meetkundig betekent dit dat er een hoek van 90 graden tussen de vectoren zit).

[hwgxx7]

Wat krijg je als je het scalair product van de 2 uitwerkt?

\(\int_{0}^{1}(2x-1)dx=\vert x^{2}-x \vert_{0}^{1} = 0\)

Dsu de beide vectoren staan orthogonaal op elkaar, stom dat ik daar niet aan gedacht had .

Als je orthogonale vectoren hebt, zijn ze totaal anders (meetkundig betekent dit dat er een hoek van 90 graden tussen de vectoren zit).

Maar hoe kan ik me dit dan voorstelen?

Stel vector

\(\overrightarrow{y_2}=2x-1\)

ligt in het vlak XY, dan zal vector

\(\overrightarrow{y_1}=1\)

orthogonaal op het vlak XY staan. Dus parallel aan de Z as?

Dankjewel.

edit: Nu zie ik ook in waarom dat

\(\{\overrightarrow{y_1},\sqrt(3)\overrightarrow{y_2}\}\)

een orthonormale basis is.

[Revelation]

Je hebt het over assen, maar in principe heb je die nog niet gedefinieerd. Dat doe je pas later, als je je basis vindt. Dan kies je bijvoorbeeld dat

\(\vec{y_1}\)

de x-as is en

\(\vec{y_2}\)

de y-as is. Deze staan dan orthogonaal.

Je vectoren worden dan, geschreven in deze basis:

\((1,0)\)

voor

\(\vec{y_1}\)

en

\((0,1)\)

voor

\(\vec{y_2}\)

. Andere vectoren, bijvoorbeeld 4 en

\(6x-3\)

worden dan

\((4,0)\)

en

\((0,3)\)

. Nu kun je ook misschien makkelijker een voorstelling maken dat ze orthogonaal zijn.

[hwgxx7]

Nu wordt het me idd. een pak duidelijker .

Dankjewel voor het snelle antwoord!

[hwgxx7]

Ik had nog een kleine toevoeging gerelateerd hieraan: waarom definieert men verscheidene gewichtsfunctie's w(x) bij het scalaire product van functie's? Bv. het scalaire product van Legendre, Chebyshec,Laguerre,..? Ik hoef niet de details te kennen, maar wat is het doel hiervan?

Dankjewel.