Machten

[dannypje]

Als je een macht tot een macht verheft, moet je de exponenten met elkaar vermenigvuldigen. Bvb 5 tot de tweede tot de derde macht = 5 tot de zesde macht = 5 tot de derde tot de tweede macht.

Maar ik heb hier nu een wortel in de macht, namelijk, 2 tot de macht wortel 2. Als ik de wortel als een macht schrijf, krijg ik 2 tot de tweede macht tot de macht 1/2. Als ik hier de machten vermenigvuldig krijg ik 2 tot de macht (twee maal 1/2)= 2 tot de eerste macht = 2

2 tot de macht wortel 2 is duidelijk niet gelijk aan 2.

Wat doe ik verkeerd ?????

[mathfreak]

Bedenk dat 2^√2 een uitdrukking is van de gedaante 2^pq, met p = 2 en q = ½.

[Bart23]

De verwarring ontstaat doordat je (onterecht) eigenschappen van plus en maal extrapoleert naar machten.
Er geldt namelijk wel: (a+b)+c=a+(b+c) en (a*b)*c=a*(b*c),
maar niet: (a^b)^c=a^(b^c)

[dannypje]

Bedenk dat 2^√2 een uitdrukking is van de gedaante 2^pq, met p = 2 en q = ½.

Sorry mathfreak, maar ik zie niet hoe dit me helpt hier. Ik denk nog altijd: 5 tot de tweede tot de derde = 5 tot de zesde. Dus 2 tot macht p tot de macht q = 2 tot de macht pq.

[dannypje]

De verwarring ontstaat doordat je (onterecht) eigenschappen van plus en maal extrapoleert naar machten.
Er geldt namelijk wel: (a+b)+c=a+(b+c) en (a*b)*c=a*(b*c),
maar niet: (a^b)^c=a^(b^c)

Bart, is 5 tot de 2de tot de 3de dan 15625 of 390625 en welke regel pas je hiervoor toe ?

[Bart23]

Je opgave is niet ondubbelzinnig.
(5 tot de 2de) tot de derde is niet hetzelfde als 5 tot de (2 tot de 3de).
In je oorspronkelijke vb moet je doen:
2 tot de (2 tot de halfde) en niet (twee tot de twee) tot de halfde.
Dat is niet hetzelfde zoals je zelf al aangaf.
Gelijkaardig is bv dat 5-(3-2) niet hetzelfde is als (5-3)-2. Bij machtsverheffing en verschil (en bij veel andere bewerkingen) mag je de haakjes niet verplaatsen. Haakjes gaan altijd voor, tenzij het toevallig niet uitmaakt, zoals bij plus en maal.

[dannypje]

Je opgave is niet ondubbelzinnig.
(5 tot de 2de) tot de derde is niet hetzelfde als 5 tot de (2 tot de 3de).
In je oorspronkelijke vb moet je doen:
2 tot de (2 tot de halfde) en niet (twee tot de twee) tot de halfde.
Dat is niet hetzelfde zoals je zelf al aangaf.
Gelijkaardig is bv dat 5-(3-2) niet hetzelfde is als (5-3)-2. Bij machtsverheffing en verschil (en bij veel andere bewerkingen) mag je de haakjes niet verplaatsen. Haakjes gaan altijd voor, tenzij het toevallig niet uitmaakt, zoals bij plus en maal.

ok, dat snap ik, maar wat als er geen haakjes staan. Is er dan een regel zoals 'werk de machten uit van de buitenste naar de binnenste', of zoiets. Remember dat in mijn oorspronkelijk probleem geen haakjes staan (2 tot de macht wortel 2). Ik mis hier een regel die aangeeft wat je in zo'n geval moet doen blijkbaar.
Dus mijn vraag is eigenlijk: hoe weet ik dat ik 2 tot de (2 tot de halfde) moet doen en niet (twee tot de twee) tot de halfde?

[Bart23]

Als er geen haakjes staan is het dubbelzinnig en kan geen eenduidig antwoord gegeven worden. De vraag is dan slecht gesteld. Het heeft geen zin om hier in het algemeen toch een een werkwijze aan te verbinden: die is niet internationaal aanvaard en leidt mogelijk tot tegenstrijdigheden.
Maar in jouw voorbeeld is wortel2 één entiteit die je ook als 2^(1/2) kan schrijven. Jouw opgave is dus:
2^(wortel 2)=2^(2^0.5)

[Back2Basics]

Je zou ook zo kunnen redeneren:
om 2^x uit te kunnen rekenen, moet je eerst weten wat het exponent x voorstelt. In dit geval: x=√2, anders geschreven: x=2^½
Je rekent dus eerst uit wat dat exponent is. Daarna verhef je het grondtal tot de macht 'exponent'.
Anders gezegd: indien er geen haakjes staan, zorg je eerst dat het exponent duidelijk is. Indien dat zelf ook weer een machtsuitdrukking is, zorg je eerst ... etc.

[dannypje]

Bedankt allemaal. Na deze uitleg en een nachtje slapen, is het helder!

[tempelier]

Het is een notatie kwestie.

\(2^{\sqrt{2}}= 2^{\big(2^{\frac{1}{2}}\big)} \neq 2^{2^{\frac{1}{2}}}= \big( 2^{2}\big)^{{\frac{1}{2}}}\)

Zo zijn de rekenregels en daar valt verder niets aan uit te leggen.

PS.
In het complexe gebied geldt het rechter lid niet.

\(2^{\sqrt{2}}\)

Heet het getal van Hilbert.

[mathfreak]

Zie voor meer info over dit getal https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E ... r_constant

[dannypje]

Zie voor meer info over dit getal https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E ... r_constant

Bedankt, leuk leesvoer

[mathfreak]

Bedankt, leuk leesvoer

Graag gedaan,