Oefening speciale relativiteits theorie

[die hanze]

Wie is A'?

[Professor Puntje]

Haha!

Het accentje staat daar enkel om de "A" van de "s" te scheiden zodat we niet lezen "As" in plaats van "A's" als de bezittelijke vorm van "A". Wees gerust ik introduceer niet nog een waarnemer.

[die hanze]

Ah ok .

Die berekening hebben we toch juist gemaakt met plaatje en al.
Wat A als lengten en tijden ziet is wat het is. Als we waarnemingen van A willen uitleggen aan waarnemer B dan moeten we alles transformeren met een lorentz transformatie. Als A een auto een boost ziet krijgen dan ziet hij dat er een klein verschil is in versnelling doorheen het object waardoor het krimpt. Dit is de lorentzcontractie.

[Professor Puntje]

Ik heb voor de berekening van A's waarnemingen enkel de lorentzcontractie gebruikt, en niets meer. Dus ook geen ruimtetijd metriek. De lorentzcontractie kun je vanuit A's perspectief als een door de boost's optredende krimp van het auto's interpreteren zonder dat daar enige ruimtetijd metriek aan te pas komt. Vandaar dat ik nieuwsgierig ben hoe je redenerend vanuit de ruimtetijd metriek op het zelfde resultaat kunt uitkomen.

[Xilvo]

Vandaar dat ik nieuwsgierig ben hoe je redenerend vanuit de ruimtetijd metriek op het zelfde resultaat kunt uitkomen.

Aanzetje (wat voorstellingsvermogen vereist of een tekeningetje maken):

Een auto, lengte 4 meter, heeft z'n eigen stelsel C. De lengte van de auto verandert niet in dat eigen stelsel.

De achterkant staat in het Minkowski-diagram (met lichtkegel onder 45 graden) op x=0 m, de voorkant op x=4 m.
In 'rust' staat de auto stil en valt C samen met A. Wereldlijnen van auto (voor- en achterkant) staan verticaal, ruimte-as van C valt samen met de horizontale x-as.

Nu moeten we de 'boost' opzij zetten, oneindige versnelling kan niet maar belangrijker, staat de redenatie in de weg.
De auto begint een beetje te versnellen. Achterkant evenveel als voorkant, in z'n eigen stelsel C dat in eerste instantie samenvalt met A.

Auto krijgt een zekere snelheid. De wereldlijn van de achterkant buigt af naar rechts, de ruimte-as van C begint een (positieve) hoek met de x-as te maken.
C is niet langer (precies) gelijk aan A, wat gelijktijdig is in C is dat niet meer in A en omgekeerd.
Gelijktijdigheid is voor de auto niet langer de gelijktijdigheid van A.

Wat in C gelijktijdig is voor voor- en achterkant van de auto ziet een waarnemer in A niet langer als gelijktijdig; hij ziet de voorkant wat later versnellen dan de achterkant.

In C blijft de auto even lang, gezien vanuit A wordt hij korter.

[Professor Puntje]

Zover ben ik gekomen: de wereldlijn van de voorkant van de auto moet ik nog intekenen. Maar nu moet ik weten waar de 4m op de x'-as zit, zodat ik de lengte van de auto in het "auto-stelsel" gelijk aan 4m kan houden. Is er een eenvoudige manier om die 4m op de x'-as te construeren?

[Xilvo]

Ik ga er naar kijken.
Wel is de hoek tussen wereldlijn en de verticaal gelijk aan de hoek tussen ruimte-as x' en de horizontaal.
En het is misschien minder handig als de eindsnelheid de lichtsnelheid te kiezen

Die ruimte-as van het stelsel C is in jouw plaatje dan geen rechte vanuit de oorsprong maar een kromme (ongeveer?) gelijk aan de wereldlijn gespiegeld om de 'lichtstraal', de lijn onder 45°

De lengtecontractie is natuurlijk op ieder moment te bepalen uit de snelheid van de auto t.o.v. A, die lengtecontractie maal 4 meter kan op de x-as worden uitgezet om de lijn van de voorkant te krijgen.

Dat is één manier, (numeriek) integreren wat ik hierboven schrijf (met veel zeer kleine 'boosts' na elkaar) is een andere.
Daar moet hetzelfde uitkomen, uiteraard.

We doen weinig meer dan enkele wielen opnieuw uitvinden, de lol is het extra inzicht dat het ons oplevert.

[Professor Puntje]

Ik heb maar twee stelsels ingetekend namelijk dat waarin de auto aanvankelijk in rust was (het x, ct-stelsel) en dat waarin de auto een vaste nieuwe snelheid heeft gekregen (het x', ct'-stelsel) . Dat moet toch genoeg zijn? Verder heb ik al de wereldlijn van de achterkant van de auto getekend, dus hoeft de wereldlijn van de voorkant van de auto enkel nog zo gekozen dan wel geschat te worden dat die in het nieuwe ruststelsel (dus na de versnelling) in een gelijkblijvende lengte van de auto resulteert.

[Professor Puntje]

Dan maar even uit de tekening opmeten. Voor de eindsnelheid van de auto hebben we:

β = v/c = Δx/cΔt = 9,5/16,5 = 0,576

Zodat:

\(\)

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 1,223 \)

[Professor Puntje]

Zoiets moet het dan worden:

[Professor Puntje]

De aanpak in de voorafgaande berichtjes (vanaf wo 26 feb 2020, 20:37) werkt vanuit de veronderstelling dat een zelfde auto in alle inertiaalstelsels dezelfde rustlengte heeft. Dit volgt uit het relativiteitsbeginsel. Maar of dat eveneens volgt uit de ruimtetijd metriek is mij nog steeds niet duidelijk.

Overigens kun je nu verschillende van zulke auto's in het minkowski-diagram achter elkaar zetten, en dan zie je (vanuit het oorspronkelijke rustframe van die auto's bekeken) ook hier weer dat met het versnellen van de auto's de tussenruimten tussen die auto's toenemen. En dat geldt zelfs als de auto's oorspronkelijk bumper aan bumper stonden.

[die hanze]

Dat de "rustlengte" hetzelfde is in alle inertiaalstelsels volgt niet uit het relativiteitsbeginsel (c= cte??).
Per constructie is proper length en proper time hetzelfde in alle inertiaalstelsels aangezien het gedefinieerd is als de lengte of tijd gemeten door één bepaalde waarnemer in rust tov het object.

Waar komen die lorentz transformatie's vandaan? Toch van de minkowski metriek (-c,+1,+1,+1)?

[Xilvo]

Overigens kun je nu verschillende van zulke auto's in het minkowski-diagram achter elkaar zetten, en dan zie je (vanuit het oorspronkelijke rustframe van die auto's bekeken) ook hier weer dat met het versnellen van de auto's de tussenruimten tussen die auto's toenemen. En dat geldt zelfs als de auto's oorspronkelijk bumper aan bumper stonden.

Dat klopt, bij gelijke versnelling. Dat spreek ik ook niet tegen.

[Xilvo]

Zo gaat het plaatje eruit zien:

De linker donkerblauwe lijn is de achterkant van de auto, die in kleine stapjes een steeds grotere snelheid krijgt.
De groene lijnen zijn de ruimtelijnen voor het stelsel van de auto, lijnen van gelijktijdigheid voor de auto.
De rechter blauwe lijn is de voorkant van de auto. Die krijgt dezelfde snelheidsverandering als de achterkant, op hetzelfde tijdstip, in het stelsel van de auto. Maar later gezien vanuit het ruststelsel dat we steeds A hebben genoemd.

Zo ontstaat 'vanzelf' de lengtecontractie van de auto voor een waarnemer in stelsel A.

[Professor Puntje]

Dat de "rustlengte" hetzelfde is in alle inertiaalstelsels volgt niet uit het relativiteitsbeginsel (c= cte??).

Jawel. De SRT berust op twee postulaten: (1) dat de natuurwetten in alle inertiaalstelsels hetzelfde zijn, en (2) dat de lichtsnelheid in vacuüm in alle inertiaalstelsels hetzelfde is. Hierin is (1) het relativiteitsbeginsel.

Uit (1) volgt dat een zelfde auto in alle inertiaalstelsels dezelfde afmetingen heeft, want je kunt metingen aan die auto als een natuurkundig experiment zien.

Per constructie is proper length en proper time hetzelfde in alle inertiaalstelsels aangezien het gedefinieerd is als de lengte of tijd gemeten door één bepaalde waarnemer in rust tov het object.

Uit die correcte definitie op zich volgt nog niet dat alle inertiaalwaarnemers bij hun meting ook dezelfde uitkomst voor de rustlengte van de auto zullen vinden.

Waar komen die lorentz transformatie's vandaan? Toch van de minkowski metriek (-c,+1,+1,+1)?

Je kan de lorentztransformatie op talloze manieren afleiden, maar een afleiding vanuit de minkowski-metriek heb ik nog niet gezien, wat overigens niet zegt dat dit onmogelijk is.