Oefening speciale relativiteits theorie

[Professor Puntje]

Overigens kun je nu verschillende van zulke auto's in het minkowski-diagram achter elkaar zetten, en dan zie je (vanuit het oorspronkelijke rustframe van die auto's bekeken) ook hier weer dat met het versnellen van de auto's de tussenruimten tussen die auto's toenemen. En dat geldt zelfs als de auto's oorspronkelijk bumper aan bumper stonden.

Dat klopt, bij gelijke versnelling. Dat spreek ik ook niet tegen.

Gelukkig - dan is dat misverstand uit de wereld!

[Professor Puntje]

@ Xilvo

Dank! Berust dat plaatje op de starre lichaam benadering van de auto waarin de auto als geheel wordt geacht instantaan de veranderingen in de ruimtetijd metriek geldend voor de achterkant van de auto te volgen?

[Xilvo]

De versnelling is inderdaad voor ieder deel van de auto precies even groot, in het stelsel van de auto.

Absolute starheid is niet mogelijk, dat zou informatietransport met snelheid > c mogelijk maken.
Maar de versnelling van de auto hoeft niet groot te zijn, dan speelt niet-starheid een te verwaarlozen rol.

[Professor Puntje]

Is het vanuit de geometrische aanpak ook mogelijk het feitelijke gedrag van een sterk versnellende auto (dus inclusief de dan optredende interne deformaties en schokgolven) uit te rekenen?

[Xilvo]

Interne deformaties en schokgolven kun je klassiek uitrekenen in het stelsel van de auto.
Die schokgolven zullen ongeveer met de geluidssnelheid in het materiaal gaan, misschien enkele km/s maar heel veel langzamer dan c. Die vervormingen kun je dan in het plaatje verwerken.

Misschien is het ook direct mogelijk met de geometrische aanpak maar voor praktische gevallen bij voertuigen is het niet zinvol

[Xilvo]

Grappig dat Bell's paradox verdwijnt als je de ruimteschepen een gelijke versnelling geeft in hun eigen referentiestelsel.

De voor- en achterkant van de auto hierboven ondervinden op ieder moment een gelijke versnelling in het stelsel van de auto zelf en de auto breekt niet.

Hij behoudt een lengte van 4 m in z'n eigen stelsel en vertoont krimp gezien vanuit stelsel A.

[Professor Puntje]

Ik heb het niet zo op die versnellende waarnemers, dat zijn immers geen inertiaalwaarnemers en dus mag je de SRT niet zonder meer toepassen alsof zij wel inertiaalwaarnemers waren. Je zou eerst eens moeten bewijzen wat er voor dergelijk niet-inertiaalwaarnemers van de SRT nog overeind blijft.

[Xilvo]

Feitelijk krijgt de auto in het plaatje hierboven steeds, om de zoveel tijd, een kleine boost, gedurende korte tijd een kleine snelheidsverandering.

Voor die momenten zijn de groene lijnen getekend. Daartussen heeft-ie een constante snelheid.

[Professor Puntje]

Neemt niet weg dat dit een benadering is die het fysische karakter van de auto onder het tapijt veegt om de zaak zuiver geometrisch te kunnen behandelen. Daarom vertelt die geometrische interpretatie van de SRT - volgens mij - ook niet het hele verhaal. Er is bij een versnellend object meer aan de orde dan het instantaan volgen van een veranderend ruimtetijd frame. Het versnellende object heeft tijd nodig om zich in de nieuwe bewegingstoestand te settelen.

[Xilvo]

In het dagelijkse leven met de versnellingen die we daar meemaken kunnen we ook verschil in snelheid of versnelling tussen voor- en achterkant verwaarlozen, al helemaal gemiddeld over de tijd.

Ik heb het ook niet over grote versnellingen (al betwijfel ik of dat veel zou uitmaken). Als een kleine versnelling maar vaak genoeg plaatsvindt of lang genoeg aanhoudt bereik je ook uiteindelijk relativistische snelheden.

Ik wil ook niets "bewijzen" met het plaatje, alleen illustreren dat lengtecontractie vanzelf volgt uit de aanname dat versnelling van voor- en achterkant (en logischerwijze van alles ertussen) in het eigen stelsel van de auto op ieder tijdstip gelijk zijn.

[Professor Puntje]

Het plaatje laat inderdaad zien dat een auto vanuit het perspectief van de niet mee versnellende waarnemer na de fase van versnelling (als dat voldoende voorzichtig is gedaan zodat de auto dat heelhuids overleeft) volgens de lorentzcontractie gekrompen moet zijn. Waarbij je er dan wel impliciet vanuit bent gegaan dat de eigenlengte van de auto gelijk blijft. Maar dat volgt al uit het relativiteitsbeginsel.

[Xilvo]

Nu is de versnelling gestopt zodra een snelheid van 0,6614 c bereikt is.
Dan is γ = 1,333, de lengtecontractie dus 0,75.

Uiteraard bewijst het plaatje niets maar het is hier ook niet strijdig mee.

[Professor Puntje]

Dat komt aardig overeen met mijn eerdere schetsje:

[Xilvo]

Absoluut. Het enige wat niet helemaal klopt is dat de versnelling ook aan de voorkant (bij '4 m') meteen al begint omdat bij snelheid nul 'gelijktijdig' op een horizontale lijn valt. Maar zoiets is sowieso lastig tekenen.

Daarom heb ik dat maar aan de computer overgelaten

[Professor Puntje]

Een echt bewijs vanuit de minkowski-metriek vereist - volgens mij - enkel nog dat je de versnelling zeer geleidelijke en langdurig maakt (zodat het een quasi-statische verandering wordt) en dat je het relativiteitsprincipe aanroept om de eigenlengte van de auto constant te mogen veronderstellen.