Galoistheorie

[Professor Puntje]

Op grond van (10) zijn \( \, 3 U V \, \) en \( \, -p \, \) beide 3-de machtswortels van een zelfde complex getal, en dus kunnen ze hoogstens in een factor \( \, \zeta^m \, \) (waarin m gelijk is aan 0, 1 of 2) verschillen:

\(\)

\( 3 U V = - \zeta^m \cdot \mathrm{p} \,\,\,\,\,\, (11) \)

\(\)

Omdat \( \, U \, \) de factor \( \, \zeta^k \, \) bevat en \( \, V \, \) de factor \( \, \zeta^l \, \) bevat kunnen we k en l uit 0, 1 en 2 steeds zodanig kiezen dat m=0. Wegens (9) en (11) levert formule (6*) bijgevolg geldige oplossingen voor x³ + px + q = 0 op wanneer k en l zo zijn gekozen dat m gelijk aan nul wordt. Dus vinden we met formule (6*) geldige oplossingen wanneer k en l voldoen aan:

\(\)

\( 3 U V = - \zeta^0 \cdot \mathrm{p} \)

\(\)

\( 3 U V = - \mathrm{p} \)

\(\)

\( 3 \cdot \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \cdot \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} = - \mathrm{p} \)

\(\)

\( \zeta^k \sqrt[\underline{3}]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \cdot \zeta^l \sqrt[\underline{3}]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} = - \frac{\mathrm{p}}{3} \,\,\,\,\,\, (12) \)

\(\)

\(\)

Voor formule (6) betekent dit dat als we de hoofdwaarden voor de vierkantswortels nemen we geldige oplossingen voor x³ + px + q = 0 verkrijgen wanneer we de twee meerwaardige complexe 3-de machtswortels zo kiezen dat:

\(\)

\( \sqrt[3]{ - \frac{\mathrm{q}}{2} - \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2} } \cdot \sqrt[3]{ -\frac{\mathrm{q}}{2} + \sqrt[\underline{2}]{ (\frac{\mathrm{p}}{3})^3 + ( \frac{\mathrm{q}}{2} )^2}} = - \frac{\mathrm{p}}{3} \,\,\,\,\,\, (13) \)

\(\)

[Professor Puntje]

cubic equation.pdf

De pdf is zeer beknopt wat betreft de uitleg van de stappen in de afleiding. De formules zelf zijn voor mij ook het probleem niet, die kan ik ook zelf in de boeken of op internet wel vinden. Het gaat mij erom te begrijpen waarom die formules gelden en onder welke voorwaarden dat het geval is. Verder heb ik nog maar weinig ervaring met de (meerwaardige) wortels van complexe getallen, en dat ben ik nu gelijk ook maar even aan het bijspijkeren. Ik leer zulke zaken het beste door ze zelf te doen.

[Professor Puntje]

In het boek Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective van Jörg Bewersdorff lees ik:

Definition 9.2. For a polynomial equation without multiple solutions whose coefficients lie in a field K, the Galois group (over the field K) is the set of all permutations σ in the symmetric group S_n that permute the indices 1,..., n of the solutions x₁,..., x_n in such a way that for every polynomial h(X₁,..., X_n) with coefficients in K and h(x₁,..., x_n) = 0, one has h(x_σ(1),..., x_σ(n)) = 0.

Ik probeer die definitie te doorgronden maar dat is niet eenvoudig!

[ctjacobs]

Het wordt begrijpelijker als je weet wat een lichaamsuitbreiding is. Neem bijvoorbeeld het lichaam van de reële getallen. Daarin het polynoom x^2 +1. Neem de polynoomring van R en ga daarin rekenen modulo dat polynoom. Dan zie je dat je de complexe getallen gemaakt heb. je kunt x=i nemen of x=-i, dat werkt allebei. De symmetriegroep is nu de groep die i en -i verwisselt. De groep heeft twee elementen, een die ze verwisselt een die ze op hun plaats laat.

[Professor Puntje]

Die lichaamsuitbreidingen worden in het boek ook besproken.

Eens zien of ik de definitie nu kan doorgronden door haar in stukjes te knippen, en dan in mijn eigen woorden te beschrijven wat ik daarin lees:

Definition 9.2. For a polynomial equation without multiple solutions whose coefficients lie in a field K,

De definitie heeft betrekking op vergelijkingen p(x) = 0 van de vorm a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = 0 waarbij alle coëfficiënten a_k afkomstig zijn uit een lichaam K en alle n oplossingen x_k van de vergelijking van elkaar verschillend zijn.

the Galois group (over the field K) is the set of all permutations σ in the symmetric group S_n

Bij ieder van de boven genoemde vergelijkingen p(x) = 0 wordt een bijbehorende deelgroep van de groep van permutaties S_n gevormd die bestaat uit precies die permutaties σ die aan de onderstaande voorwaarde voldoen. Die zo gevormde deelgroep van S_n noemen we de galoisgroep van p over het lichaam K.

that permute the indices 1,..., n of the solutions x₁,..., x_n in such a way that for every polynomial h(X₁,..., X_n) with coefficients in K and h(x₁,..., x_n) = 0, one has h(x_σ(1),..., x_σ(n)) = 0.

Vorm nu de verzameling V_K,n van alle polynomen h met n variabelen X₁, X₂, ... , X_n waarbij de coëfficiënten van die polynomen afkomstig zijn uit het lichaam K. De voorwaarde waaraan de permutaties σ in de galoisgroep dan moeten voldoen is dan dat ze zodanig moeten zijn dat voor iedere polynoom h uit V_K,n geldt dat:

\( \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{h}(x_1 , x_2 , ... , x_n) = 0 \Rightarrow \mathrm{h}(x_{\sigma(1)} , x_{\sigma(2)} , ... , x_{\sigma(n)} ) = 0. \)

Waarin x₁, x₂, ... , x_n de oplossingen van onze oorspronkelijke vergelijking p(x) = 0 zijn.

[Professor Puntje]

Jammer genoeg ben er daarmee nog niet want in de moderne algebra werkt men met een meer abstracte definitie van de galoisgroep. Het eerder geciteerde boek heeft het daar aan het eind ook nog wel even over, maar dat laatste deel van het boek vind ik lastig te volgen. Eens zien of er op YouTube een heldere uitleg van de galoisgroep in de moderne opvatting te vinden is...

[Professor Puntje]

Dit is alvast een verhelderend verhaal: https://www.mathpages.com/home/kmath290/kmath290.htm

[Professor Puntje]

Ik zit nu deze serie te kijken:



Ziet er goed uit. Voor het Galois gebeuren is 6.1 en verder het interessantste.