9! determinanten

[efdee]

Kies negen getallen. Geen is nul.
Hiermee kun je 9! verschillende determinanten maken.
Maar bij de berekening van de determinanten krijg je veel minder antwoorden dan 9!
Hoeveel antwoorden zijn maximaal mogelijk?

[efdee]

De welwillende lezer zal begrepen hebben, dat het om drie bij drie determinanten gaat.

[Xilvo]

Ik neem dat je "drie bij drie matrices" bedoelt?

[RedCat]

Eerst a in de linker bovenhoek:

\(\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh -gec - hfa - idb\)

dan kunnen we e en i wisselen en toch dezelfde 6 termen rechts overhouden:

\(\begin{vmatrix}a & c & b \\ g & i & h \\ d & f & e \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh -gec - hfa - idb\)

Samen met de getransponeerden van deze 2 levert dat 4 identieke uitkomsten.
Maar elke letter kunnen we in de linker bovenhoek zetten, en daarbij steeds op 4 manieren op dezelfde 6 termen rechts uitkomen.
Dat levert dus 9 * 4 = 36 verschillende matrices met dezelfde determinant.

Dus er zijn maximaal 9! / 36 = 10080 verschillende waarden voor de determinant.

Neem bijvoorbeeld

\((a, b,c,d,e,f,g,h,i) = (2^{2^0},2^{2^1},2^{2^2},2^{2^3},2^{2^4},2^{2^5},2^{2^6},2^{2^7},2^{2^8})\)

\(=({2^{1},2^{2},2^{4},2^{8},2^{16},2^{32},2^{64},2^{128},2^{256}})\)

en je zal 10080 verschillende waarden vinden.

[efdee]

Hoe kwam je ertoe om juist die negen getallen te kiezen?

[efdee]

Ik kom tot een veel kleinere waarde. Bekijk de determinant Det van RedCat en ontwikkel ‘m naar de eerste kolom.
Dan: Det = a(ei-hf) – d(bi-hc) + g(bf-ce).
Met deze schrijfwijze kun je gemakkelijk zien, dat je niet alleen e en i probleemloos kunnen verwisselen maar ook (h en f), (b en i), (h en c), (b en f) en (c en e). Dat zijn 6 mogelijkheden om de waarde van Det constant te houden.

Ik noem de kolommen A, B en C. Als ik twee kolommen verwissel, verandert het teken van Det. Wissel ik weer twee kolommen, dan wisselt het teken weer:
A_B_C wordt A_C_B wordt C_A_B. Dat is cyclisch verwisseld. Zo vind ik ook nog B_C_A.
Dus 3 determinanten met dezelfde waarde D.

Hetzelfde kan ik met de rijen doen. Weer 3 gelijke determinanten.

De overige 9!/(6×3×3) drie bij drie determinanten kunnen steeds 90° gedraaid worden en na transponeren zijn er weer 4 mogelijkheden om de determinant constant Det te houden. Samen 4 x 4 mogelijkheden.

Resulterend zie ik zo 6720 / 16 = 420.
Kortom: de 9! = 362880 mogelijke drie bij drie determinanten hebben slechts 420 mogelijke uitkomsten.

Ik weet niet, of ik gelijk heb of dat er fout geteld is.
Misschien kan iemand met programmeren of beredeneren dit verifiëren.

[TD]

Kortom: de 9! = 362880 mogelijke drie bij drie determinanten hebben slechts 420 mogelijke uitkomsten.

Ik weet niet, of ik gelijk heb of dat er fout geteld is.
Misschien kan iemand met programmeren of beredeneren dit verifiëren.

Nee, het zijn er toch 10080.

[efdee]

Mooi dat je dat vermeldt maar graag een motivatie.
Zo heb ik er niets aan.
Een welles-nietes-spelletje heeft geen zin.

[RedCat]

Hoe kwam je ertoe om juist die negen getallen te kiezen?

Hier gebruik ik 2 keer de binaire (tweetallige) getalrepresentatie:
[1] Elk drietal uit a t/m i geeft een unieke 9-bits exponent (een getal van 0 tot 512):
Bijvoorbeeld:

\(aei = 2^1 \cdot 2^{16} \cdot 2^{256} = 2^{1+16+256} = 2^{273}\)

en

\(273_{(10)} = 100010001_{(2)}\)

[2] Elk van de 6 termen van de determinant is vervolgens een 512-bits binair getal, elk bestaand uit een 1 met een uniek aantal nullen er achter, bijvoorbeeld:

aei = 2^273 = binair een 1 met 273 nullen.

Elke determinant (512 bits getal) telt zo op 3 unieke posities een 1-bit op, en trekt op 3 andere unieke posities een 1-bit af.
Als 2 determinanten gelijk zijn, moeten ze dus 6 dezelfde termen hebben, die we uit de waarde van de determinant kunnen afleiden.
Vervolgens kunnen we uit elk van die termen zoals onder punt [1] al gesteld de 3 factoren uniek herleiden.

Een als we het 9-tal elementen kennen, dan zijn er 36 verschillende matrices mee te construeren, alle 36 met deze waarde van de determinant.

[TD]

Ik weet niet, of ik gelijk heb of dat er fout geteld is.

Mooi dat je dat vermeldt maar graag een motivatie.
Zo heb ik er niets aan.
Een welles-nietes-spelletje heeft geen zin.

Ik had niet zo veel tijd noch zin om je rekenwerk/redenering na te kijken, maar dacht (op basis van je vraag) dat je al geïnteresseerd was om te weten of je uitkomst klopte of niet. Mijn excuses als ik dat verkeerd had begrepen.

[RedCat]

Ik kom tot een veel kleinere waarde. Bekijk de determinant Det van RedCat en ontwikkel ‘m naar de eerste kolom.
Dan: Det = a(ei-hf) – d(bi-hc) + g(bf-ce).
Met deze schrijfwijze kun je gemakkelijk zien, dat je niet alleen e en i probleemloos kunnen verwisselen...

Stel:

\(M = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow \det(M) = ...\)

verwissel nu e en i:

\(N = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & i & f \\ g & h & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{bmatrix} \Rightarrow \det(N) = ...\)

[RedCat]

Mooi dat je dat vermeldt maar graag een motivatie.

Die melding levert op zich al een motivatie tot her-overweging van je argumenten.

Probeer alle matrices met gelijke determinant zo structureel mogelijk te beschrijven, bijvoorbeeld:
Als det(M) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
dan moeten we ten eerste een term met aei zien te krijgen.
De a kan je op 9 locaties in de matrix plaatsen.
Na keuze van a moet je op dezelfde neergaande diagonaal (matrix cyclisch bezien) de e en de i plaatsen.
Dat kan op 2 manieren.
Vervolgens moeten op de opgaande diagonaal van e ook de g en de c liggen (wegens het product -gec).
Ook hiervoor heb je nog 2 mogelijkheden.
Ga zo door met de laatste 4 termen van de determinant. Hoeveel mogelijkheden zijn daar nog voor?

[efdee]

Welk type getalstelsel gebruikt wordt, 10 of 2, lijkt me niet relevant voor de eigenschappen van matrices en determinanten.

Toch ontgaat het me nog steeds waar mijn redenering fout zou zijn.

[Benm]

Tellen matrices die rotaties of spiegelingen zijn van andere matrices als 'anders' of niet?

[RedCat]

vIk kom tot een veel kleinere waarde. Bekijk de determinant Det van RedCat en ontwikkel ‘m naar de eerste kolom.
Dan: Det = a(ei-hf) – d(bi-hc) + g(bf-ce).
Met deze schrijfwijze kun je gemakkelijk zien, dat je niet alleen e en i probleemloos kunnen verwisselen maar ook (h en f), (b en i), (h en c), (b en f) en (c en e). Dat zijn 6 mogelijkheden om de waarde van Det constant te houden.

We kunnen e en i niet probleemloos verwisselen, zie mijn eerdere post hierboven:
det(M) = 0
det(N) = -1
Dit is omdat het product ei wel in de eerste term van je formule zit, maar i ook in de tweede en e in de derde:
Det = a(ei-hf) – d(bi-hc) + g(bf-ce)

Ik noem de kolommen A, B en C. Als ik twee kolommen verwissel, verandert het teken van Det. Wissel ik weer twee kolommen, dan wisselt het teken weer:
A_B_C wordt A_C_B wordt C_A_B. Dat is cyclisch verwisseld. Zo vind ik ook nog B_C_A.
Dus 3 determinanten met dezelfde waarde D.
Hetzelfde kan ik met de rijen doen. Weer 3 gelijke determinanten.
De overige 9!/(6×3×3) drie bij drie determinanten kunnen ...

Merk op dat je ook 1 rijwisseling kan combineren met 1 kolomwisseling, ook dan blijft de determinant gelijk.
Waarom sla je deze optie over?

De overige 9!/(6×3×3) drie bij drie determinanten kunnen steeds 90° gedraaid worden en na transponeren zijn er weer 4 mogelijkheden om de determinant constant Det te houden. Samen 4 x 4 mogelijkheden.

\(\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh -gec - hfa - idb\)

roteer dit 90° en je krijgt:

\(\begin{vmatrix}c & f & i \\ b & e & h \\ a & d & g \end{vmatrix} = ceg + fha + ibd - aei - dhc - gbf\)

en dit is de tegengestelde van de oorspronkelijke determinant.


Kortom: als je eigenschappen gebruikt die de determinant gelijk houden, moet je aantonen dat je:
[1] geen fouten maakt
[2] alle mogelijkheden telt
[3] geen dubbeltellingen doet
En dat is allemaal lastig.
Daarom geef ik de voorkeur aan een systematische constructie, zoals ik hierboven al aangaf:

Probeer alle matrices met gelijke determinant zo structureel mogelijk te beschrijven, bijvoorbeeld:
Als det(M) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
dan moeten we ten eerste een term met aei zien te krijgen.
De a kan je op 9 locaties in de matrix plaatsen.

Neem bijvoorbeeld:

Code: Selecteer alles

_ _ _
_ _ _
_ a _ 

Na keuze van a moet je op dezelfde neergaande diagonaal (matrix cyclisch bezien) de e en de i plaatsen.
Dat kan op 2 manieren.

Code: Selecteer alles

_ _ e
i _ _
_ a _ 

of

Code: Selecteer alles

_ _ i
e _ _
_ a _ 

Vervolgens moeten op de opgaande diagonaal van e ook de g en de c liggen (wegens het product -gec).
Ook hiervoor heb je nog 2 mogelijkheden.

In het eerste geval:

Code: Selecteer alles

_ _ e        _ _ e
i c _   of   i g _
g a _        c a _

en in het tweede geval:

Code: Selecteer alles

_ g i        _ c i
e _ _   of   e _ _
_ a c        _ a g

Ga zelf na dat de overige letters in alle 4 de situaties nu vastliggen.
Voor elke positie van a (dat zijn er 9) zijn er zo 4 mogelijkheden om de matrix aan te vullen tot dezelfde determinant.
Dat zijn dus 36 verschillende matrices per determinant (aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb).

Resteert nog de getallen a t/m i te zoeken, zodanig dat alle derterminanten aantoonbaar 9! / 36 = 10080 verschillende waardes genereren. En die getallen heb ik geconstrueerd met machten van 2.
Maar dat mogen uiteraard ook machten met grondtal > 2 zijn.