Bra's en Ket's

[Professor Puntje]

Toch zitten er wiskundig gezien wat haken en ogen aan Dirac's notatie. Zie: https://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Voor zover ik het nu begrijp is Dirac er zonder fatsoenlijke onderbouwing vanuit gegaan dat zijn Bra's en Ket's zich in oneindig dimensionale ruimten hetzelfde gedragen als in eindig dimensionale ruimten. Maar om dat wiskundig correct te onderbouwen heb je "rigged hilbert spaces" o.i.d. nodig.

[sensor]

Interessant concept van die Rigged Hilbert spaces klinkt zo wie zo degelijk. Ik zag een antwoord op stackexchange :
https://physics.stackexchange.com/quest ... ace-and-qm
De conclusie is :
he language of rigged Hilbert spaces was invented to capture the ideas I've outlined above: the smooth vectors of an algebra of operators with continuous spectrum, and the dual vector space where the eigenbases of these operators live. The language actually matches the physics very nicely -- especially the bra-ket formalism -- but it provides a level of precision that's not really necessary for most calculations (e.g., with floating point arithmetic).

Gebruik van rigged Hilbert spaces voegt alleen wat toe als de nauwkeurigheid van belang is. Dit is op dit moment zeker niet het geval bij bijvoorbeeld het gebruik van quantum computers. Die hebben last van heel veel ruis en errors. Eventuele verbetering in de fout is verwaarloosbaar in praktische toepassingen.

[flappelap]

Toch zitten er wiskundig gezien wat haken en ogen aan Dirac's notatie. Zie: https://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Voor zover ik het nu begrijp is Dirac er zonder fatsoenlijke onderbouwing vanuit gegaan dat zijn Bra's en Ket's zich in oneindig dimensionale ruimten hetzelfde gedragen als in eindig dimensionale ruimten. Maar om dat wiskundig correct te onderbouwen heb je "rigged hilbert spaces" o.i.d. nodig.

Dat is geen manco van de notatie. Maar idd, formeel kun je niet elk resultaat voor eindig-dim. vectorruimtes overhevelen naar oneindig-dim. vectorruimtes.

Een simpel voorbeeld is de commutator

[X,P]~h

Als je het spoor links en rechts neemt, krijg je

0 = oo.

Of neem de delta'functies', die natuurkundigen graag als basis kiezen voor L2 terwijl ze niet kwadratisch integreerbaar zijn.

[sensor]

Deze discussie tussen de de formele wiskunde en toch wat meer kort door de bocht benadering van de natuurkundigen zie je zo ongeveer bij elk Beta onderwerp. Mijn achtergrond is elektrotechniek. Ingenieurs zijn nog wat erger dan natuurkundigen, trekken zich niks aan van wiskundige regels. Beginnen een probleem eerst met kijken wat er te versimpelen en te verwaarlozen valt.

[Professor Puntje]

Toevallig ben ik van opleiding ook elektrotechnicus. Daar viel mij ook al op dat de deltafunctie geen functie kan zijn en dat de integraal daarvan wiskundig gezien niet 1 maar 0 zou moeten zijn. Daar is de ellende mee begonnen, en zo ben ik op het verkeerde pad van de zuivere wiskunde terecht gekomen.

Overigens was Dirac oorspronkelijk ook elektrotechnicus.

[Marko]

De natuur trekt zich niet zoveel aan van wat de zuivere wiskunde voorschrijft.

[die hanze]

De dirac delta functie wordt ook niet gezien als functie maar als een distributie. Wiskundigen hebben een heel systeem ontwikkeld met distributie's dat al die problemen wegwerkt. De dirac delta distributie is perfect wiskundig gedefinieerd maar omdat die details er voor fysici vaak toch niet toe doen nemen de meeste niet de tijd om deze subtiliteiten te leren.

[die hanze]

Wat betreft die webpagina of "quantum computer" waar julie het over hebben. Dat is gewoon een simulatie van een quantumcomputer op een klassieke computer.

[Professor Puntje]

Nee - ook die distributies zijn nog niet ideaal. Inmiddels zijn er dan ook andere versies van gegeneraliseerde functies bedacht die meer bewerkingen toelaten. Er zitten hier nog heel wat haken en ogen waarvoor fysici (om over technici maar te zwijgen) liever hun kop in het zand steken. Wat niet weet wat niet deert. Daarbij gaat die houding van niet willen weten meestal goed, het is zoiets als rijden zonder veiligheidsgordel. Ook dat leert men mensen die het niet zo nauw nemen maar moeilijk af. Zolang het goed gaat, gaat het immers goed...

[Marko]

Geef eens een voorbeeld van een geval waarin fysici of technici hun kop beter niet in het zand hadden kunnen steken.

[flappelap]

Als je wilt publiceren heb je niet altijd de luxe om elk wiskundig detail na te gaan. En ik ben ook wel benieuwd naar voorbeelden waar collectieve wiskundige slordigheid fataal bleek te zijn

[Professor Puntje]

@ flappelap

Zie de eerder gegeven link: https://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Zijn zulke fouten fataal? Volgens het boek Consistent Quantum Theory van Griffiths gaat het in de praktijk zo dat natuurkundigen zich geen zorgen maken over de wiskundige correctheid zolang het goed gaat, en wanneer hun berekeningen verdachte uitkomsten opleveren vragen ze een mathematisch fysicus of wiskundige om raad.

En dit gaat veel verder dan de kwantummechanica. Is het fataal om in de veronderstelling te verkeren dat de Newtoniaanse mechanica deterministisch is terwijl dat (in sommige gevallen) wiskundig gesproken niet waar is?

[Marko]

De gegeven voorbeelden blinken niet echt uit in fysische relevantie.

Dus nogmaals de vraag: wanneer en hoe leidt of leidde wiskundige slordigheid tot een verkeerde beschrijving van een natuurkundig fenomeen door de bijbehorende natuurkundige beschrijving?

[Professor Puntje]

@ Marko

Zucht! Het Dirac-formalisme voldoet in de praktijk uitstekend, en het gebeurt maar zelden dat men daarmee de mist in gaat. Voor veel natuurkundigen is daarmee de kous af, en een verdere (wiskundige) onderbouwing zal ze verder worst zijn. Mensen met een dergelijke nonchalante instelling heeft dit topic dan ook niets te bieden. Maar men zou op zijn minst het goed recht moeten erkennen van anderen met een meer wiskundige insteek die wel graag het naadje van de kous willen weten. Ik hoop dat de insteek van dit topic zo duidelijk is.

[Marko]

Steun! Kreun!

Allereerst: een wiskundige heeft het goede recht om een wiskundige afleiding wiskundig zo correct mogelijk te willen doen. Daar zul je mij niet, nooit zelfs, over horen. En ook niet over het nut daarvan, want het is vaak genoeg voorgekomen dat op het eerste gezicht "nutteloze" wiskunde later ineens zijn toepassing vond in de Natuurkunde of andere wetenschappen. Maar dit topic staat in het Natuurkunde- en niet in het wiskunde-forum. En dan is het toch niet zo raar om te vragen naar de natuurkundige relevantie van zoiets.

Verder, mag ik je eraan herinneren dat jij het hebt over "kop in het zand steken" en dat jij de vergelijking met rijden zonder autogordel maakt, en daarmee - nogmaals, in het Natuurkunde-forum - de Natuurkundige benadering (dis)kwalificeert. Is dat dan ook het goed recht van "mensen die graag het naadje van de kous willen weten"?