[wiskunde] Verzamelingenleer

[Autodidact1]

Dag allemaal

Ik heb een vraag over verzamelingenleer. In mijn cursus staat het volgende: (een parafrase)

Stel je hebt een verzameling S en S = {{1,3,5} , {2,4} } dan is 2 ∈ {2,4} maar 2 ∉ S
Waarom is dit zo?

Als ik nu bijvoorbeeld de oneindige verzamelingen neem van de natuurlijke getallen en de gehele getallen dan geldt volgens mij dat:

N = {0,1,2,3,...}
Z = {..., -3, -2, -1, N } = {..., -3, -2, -1, {0,1,2,3,...} }

Als ik de stelling uit mijn cursus volg dat zou 1 dus een element zijn van de natuurlijke getallen maar niet van de gehele getallen. Maar dat klopt toch niet? Want alle natuurlijke getallen zijn ook gehele getallen maar niet andersom.

Wat doe ik mis?


Groetjes

Autodidact1

[ctjacobs]

S heeft precies twee elementen, het ene element is {1,3,5} en dat is niet 2, het andere element is {2,4} en dat is ook niet 2.

Z /= {..., -3, -2, -1, N } = {..., -3, -2, -1, {0,1,2,3,...} } omdat die binnenste accolades er staan en
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} _zonder_ die binnenste accolades.

Goed gebruik van de accolades is essentieel, bijvoorbeeld:
{} is de lege verzameling
{{}} is _niet de lege verzameling want het bevat een element, namelijk {}

[TD]

Aanvullend:

Z = {..., -3, -2, -1, N } = {..., -3, -2, -1, {0,1,2,3,...} }

Dit klopt dus niet (rode gelijkheid).

Een element van een verzameling kan zelf een verzameling zijn, maar a, het element, en {a}, de verzameling met enkel het element a, zijn niet hetzelfde.

Zo geldt dus wel a ∈ {a,b,c} maar a ∉ {{a},b,c} of ook a ∉ {{a,b,c}}, maar bv. wel {a} ∈ {{a},b,c}.