Limiet berekenen(2)

[Professor Puntje]

Juist - afgeleiden zijn (althans in de reguliere wiskunde) gebaseerd op limieten, dus het gebruik van afgeleiden (zoals in de regel van l'Hôpital gebeurt) om eenvoudige limieten op te lossen is in zekere zin de wereld op haar kop. Je gebruikt dan als leerling kennis die je eigenlijk nog niet beheerst. Een dergelijke aanpak leidt bij veel leerlingen tot de voorstelling dat wiskunde bestaat uit het domweg toepassen van een hele lading aan rekenregeltjes waarvoor een verdere verantwoording ontbreekt. Dat leidt bij kritische geesten dan als vanzelf tot een afkeer van de wiskunde als was het een vorm van geestelijke dressuur.

[aadkr]

Iedereen hartelijk dank voor de geboden hulp.
aad.

[tempelier]

Graag gedaan hoor.

[aadkr]

[ukster]

volgens mij heb je gelijk aadr..
Het is een regelrechte bug in de uitwerking van wolfram Mathematica..

Bug 951 keer bekeken

[Xilvo]

Bart23 heeft hier eerder uitgelegd hoe je daaraan komt.
Het is wel een tamelijk grote stap die Mathematica maakt.

[ukster]

Het kwartje is gevallen..

no bug 941 keer bekeken

[Professor Puntje]

Als ik mij niet weer verrekend heb moet het met \( y = \sqrt[6] x \) lukken. Je krijgt dan als teller en noemer nette polynomen in y.

\(\)

\( \frac{y^3 - 1}{y^2 - 1} = \frac{y^3 - 1}{(y-1)(y+1)} = \frac{y^2+y+1}{y+1} \)

[tempelier]

Het snelste is misschien hem om te bouwen naar plus en min oneindig.
Was geen goed idee.

[kwasie]

Juist - afgeleiden zijn (althans in de reguliere wiskunde) gebaseerd op limieten, dus het gebruik van afgeleiden (zoals in de regel van l'Hôpital gebeurt) om eenvoudige limieten op te lossen is in zekere zin de wereld op haar kop. Je gebruikt dan als leerling kennis die je eigenlijk nog niet beheerst. Een dergelijke aanpak leidt bij veel leerlingen tot de voorstelling dat wiskunde bestaat uit het domweg toepassen van een hele lading aan rekenregeltjes waarvoor een verdere verantwoording ontbreekt. Dat leidt bij kritische geesten dan als vanzelf tot een afkeer van de wiskunde als was het een vorm van geestelijke dressuur.

Voor de stelling van Pythagoras, de ABC-formule, of zelfs de distributieve eigenschappen van getallen, is allemaal een bewijs of postulaat. Dat parkeren we doorgaans ergens in een bibliotheek, maar hoort nog steeds bij de toepassing van de methode.

Om een vraagstuk op te lossen willen we zo min mogelijk stappen en de simpelste vorm. Dus breuken vereenvoudigen etc, maar bij elke stap hoort ook het bewijs van de werking van die stap. Alle benodigde bewijzen, axioma's e.d. zijn daarmee nog steeds onderdeel van de oplossing.
Dus gebruik van l'Hôpital omvat ook het bewijs ervan. En daarmee wordt de oplossing middels l'Hôpital langer dan middels het ombouwen van de breuk. Daarom is het netter om l'Hôpital slechts toe te passen als de gangbare methoden niet toereikend zijn.

Verwoord ik het zo netjes?

[Professor Puntje]

Daar komt het op neer. Afgeleiden zijn limieten dus wie l'Hôpital toepast maakt van één limiet eigenlijk een breuk met twee limieten (één limiet in de teller en één limiet in de noemer). Maar omdat men veel afgeleiden vaak al uit het hoofd kent of in een tabel kan opzoeken valt dat niet op. Neemt niet weg dat het als bewijs eigenlijk de wereld op haar kop is.