FLT versie 1

[Human]

x^n+y^n = z^n heeft geen oplossingen van natuurlijke getallen voor n>2 (Wiles)
.........................................................
Maar elke "n"de macht van een natuurlijk kan geschreven worden als het verschil van twee kwadraten van natuurlijke getallen.
x^n = (a^2-b^2)
y^n= (c^2-d^2)
z^n = (e^2-f^2)
........................................................
Dit leidt tot een vergelijking in macht 2
(a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2)
.........................................................
Er zijn blijkbaar oneindig veel oplossingen met natuurlijke getallen voor a,b,c,d,e,f
.........................................................
Wie kan mij de voorwaarden opgeven voor de getallen a,b,c,d,e,f opdat er oplossingen zouden zijn ?
Aantonen dat aan die voorwaarden niet kan voldaan worden zou een bewijs zijn voor FLT, of ben ik verkeerd ?

[Xilvo]

Er zijn blijkbaar oneindig veel oplossingen met natuurlijke getallen voor a,b,c,d,e,f
.........................................................
Wie kan mij de voorwaarden opgeven voor de getallen a,b,c,d,e,f opdat er oplossingen zouden zijn ?
Aantonen dat aan die voorwaarden niet kan voldaan worden zou een bewijs zijn voor FLT, of ben ik verkeerd ?

Het feit dat er oplossingen zijn toont aan dat aan die voorwaarden (wat ze ook zijn moge) wel voldaan kan worden.

[Human]

Eigenlijk stelde ik mijn vraag verkeerd.
Zou beter geformuleerd worden als volg:
..................................................
Wie kan mij de voorwaarden opgeven voor en tussen de getallen a,b,c,d,e,f, opdat er geen oplossingen zouden zijn
voor x^n-y^n= z^n
...................................................
Ik kom aan het feit dat elke "n"de macht te schrijven is als het verschil van twee kwadraten als volgt.
x^n =(x^(n-1)) . (x^1) = ((x^(n-1) + x^1)/2)^2 - ((x^(n-1) - x^1)/2)^2 = a^2 -b^2
a + b = x^(n-1)
a - b = x^1

[mathfreak]

Je gaat dus uit van a = ½(x^n-1+x) en b = ½(x^n-1-x), dus ook c = ½(y^n-1+y), d = ½(y^n-1-y), e = ½(z^n-1+z) en
f = ½(z^n-1-z). Omdat a t/m f natuurlijke getallen zijn betekent dit dat x en x^n-1 allebei oneven of allebei even moeten zijn. Idem voor y en y^n-1 en z en z^n-1. Voor xⁿ+yⁿ = zⁿ levert dat dan de volgende mogelijkheden op:
zⁿ is even, dus xⁿ en yⁿ zijn beide even of beide oneven
zⁿ is oneven, dus xⁿ is even en yⁿ is oneven of xⁿ is oneven en yⁿ is even. Omdat je weet hoe x en x^n-1, y en y^n-1 en z en z^n-1 gedefinieerd zijn liggen de uitdrukkingen voor xⁿ, yⁿ en zⁿ daarmee dus vast.

[Human]

@mathfreak,

Dank U.
Ik zou natuurlijk nog aan bijkomende voorwaarden willen komen voor a tem f die aantonen dat er geen oplossingen zijn
voor x^n+y^n = z^n.
Het is namelijk zo dat (a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2) oneindig veel oplossingen heeft.
Het komt er op aan voorwaarden te vinden / bepalen conform de vergelijking in x,y,z zodat ze geen oplossingen meer heeft.
Ik denk dat diegenen die ik in mijn topic en reactie vermelde zinvol zijn ..... maar niet voldoende.
Gaat U mee de uitdaging aan ?
Wie wel / ook ?

[Human]

@mathfreak,
Wat mij zelf bevalt in mijn topic is dat ik de FLT vergelijking met een willekeurig grote macht "n" reduceer naar en vergelijking van macht 2 maar met meer termen.
Ik dacht dat op die wijze het FLT mogelijks gemakkelijker te benaderen was / is.
Ok, het zal niet meer zijn dan een verschuiving van het FLT probleem waarschijnlijk.
Gezien het gebrek aan reacties zal dat wellicht zo zijn!
Ik maak mij geen illusies hoor, maar blijf toch benieuwd naar het formuleren van "voorwaarden voor a,b,c,d,e,f

[mathfreak]

Merk op dat x en x^n-1 voor even x beide even zijn en voor oneven x beide oneven, en dat voor y en y^n-1 en z en z^n-1 hetzelfde geldt. Je weet hoe a en b van x en x en x^n-1 afhangen, hoe c en d van y en y^n-1 afhangen en hoe e en f van z en z^n-1 afhangen. Bovendien weet je dat a²+c²+f² = b²+d²+e², dus daarmee liggen de voorwaarden voor a t/m f vast.

[Human]

@mathfreak,
Juist, maar hoe is te bewijzen dat de kwadratische vergelijking "geen oplossingen" heeft in dat geval ?

[mathfreak]

Als z even is zijn x en y beide oneven of beide even. Als z oneven is, is x even en y oneven of x oneven en y even. Begin dus eens met voor x, y en z een waarde te kiezen in termen van even of oneven. Je weet hoe de waarden a en b van x en x^n-1 afhangen, hoe de waarden van c en d van y en y ^n-1 afhangen en hoe de waarden van e en f van z en z^n-1 afhangen. Een even getal heeft de algemene gedaante 2k en een oneven getal heeft de gedaante 2k-1, waarbij k≥1. Voor x, y en z kies je dus zo'n algemene gedaante van een even of oneven getal. Kies voor x bijvoorbeeld 2p of 2p-1, voor y 2q of 2q-1 en voor z 2r of 2r-1, dan zullen a t/m f dus een uitdrukking in p, q of r bevatten. Je weet hoe a t/m f met elkaar samenhangen, dus weet je ook hoe p, q en r met elkaar samenhangen.

[Human]

@mathfreak,
Dank U, zal er binnenkort bij een helder moment werk van maken.
Of deed U het reeds ?

[mathfreak]

Nee, dat laat ik verder aan jou over.