“Dimensionele wiskunde”

[anusthesist]

Hey daar,

De titel van dit draadje heb ik zo genoemd bij gebrek aan een betere titel die de lading dekt.

Ik was laatst wat hersenscheten aan het laten over dimensies en kwam tot de volgende ‘ontdekking’. Wat ik me concreet afvraag is of hier sprake is van een wetmatigheid of iets wat gebaseerd is op toeval.

1) Men neemt een lijn, dat is 1-dimensionaal.
We laten 2 lijnen kruisen.
Ze kruisen in een punt en dat is 1-1 = 0 dimensionaal.
Maar twee lijnen vormen een vlak en dat is 1+1= 2 dimensionaal.

2) men neemt een vlak, dat is 2-dimensionaal.
We laten 2 vlakken kruisen.
Ze kruisen in een lijn en dat is 2-1= 1 dimensionaal
Maar twee vlakken vormen een 3-D kruis dus 2+1 = 3 dimensionaal

3) men neemt een kubus , dat is 3-dimensionaal.
We laten 2 kubussen’kruisen’
Ze kruisen in een vlak wat 3-1 = 2 dimensionaal is.
2 kubussen vormen een ‘hypercube’ die 3+1 = 4 dimensionaal is.

Mag je dit patroon tot in het oneindige voortzetten? Of loopt het op een gegeven moment mank?

Is dit iets wat algemeen bekend is? Of kan ik volgend jaar een Fields Medal ophalen?

Bij voorbaat dank!

[Algebruh]

Dit is volgens mij een relatief logisch gegeven dat je wiskundig zou kunnen verklaren met de dimensiestelling uit de lineaire algebra.

Dim(V1 doorsnede V2) = Dim(V1) + Dim(V2) - Dim(V1 + V2)

Waarbij V1 + V2 de span is van de unie van beide vectorruimten.

Wat wel ietwat onlogisch is in jouw redenering, vind ik, is dat je eerste een recht en een vlak neemt die corresponderen met een 1D en 2D vectorruimte, maar vervolgens een kubus die geen vectorruimte is. Logischer zou zijn mocht je derde voorbeeld een driedimensionale vectorruimte zijn.

Indien je blijft doorredeneren dat je in een n-dimensionale ruimte, de doornsnede neemt van twee (n-1) dimensionale ruimten die niet identiek zijn kan je dit patroon inderdaad verder zetten, want dan zal hun gezamenlijke span steeds dezelfde dimensie hebben als de n-dimensionale ruimte zelf en volgt uit de formule dat de dimensie van de doorsnede (n-1) + (n-1) - n = n - 2.

Let op: in mijn redenering hierboven is (n-1) dus de dimensie van de 'figuren' die jij beschouwt en n de ruimte waarin je hen laat snijden.

[Math-E-Mad-X]

Is dit iets wat algemeen bekend is? Of kan ik volgend jaar een Fields Medal ophalen?

Nee, helaas, dit is algemeen bekend. Als wiskunde- of natuurkunde- student leer je dit soort dingen al in het eerste jaar.

[walter-]

...

Maar twee lijnen vormen een vlak en dat is 1+1= 2 dimensionaal.

...

Ik zou niet zeggen dat 2 lijn een vlak vormen.
Het vlak is er al, ook zonder de 2 lijnen. Met 2 lijnen kan je een coördinatensysteem maken dat de punten in het vlak uniek identificeert of ook, 2 lijnen kunnen een vlak uniek bepalen (in de zin dat er niet een 2de vlak is dat dezelfde 2 lijnen bevat).
Dus het vlak wordt niet gevormd, maar uniek bepaald.

[tempelier]

2 kubussen vormen een ‘hypercube’ die 3+1 = 4 dimensionaal is.

Dit is denk ik niet waar.
Je kunt toch ook niet van twee vierkanten een 'hypervierkant'(kubus) maken?

Je kunt een hyperkbuss trouwens gewoon tekenen.

Teken een kubus met daarin nog een kubus.
Verbindt nu alles en je kunt het aantal "omhullende" kubussen gewoon tellen.

Er staat vast wel ergens een plaatje op het internet.

PS.
Met een Simplex werkt het ook zo.

[tempelier]

Ter aanvulling.

https://de.wikipedia.org/wiki/Tesserakt

[HansH]

Je kunt een hyperkbuss trouwens gewoon tekenen.

Teken een kubus met daarin nog een kubus.
Verbindt nu alles en je kunt het aantal "omhullende" kubussen gewoon tellen.

Waarom is dat 4D? wat is dus de 4e dimensie in dit verband?

[tempelier]

Je kunt een hyperkbuss trouwens gewoon tekenen.

Teken een kubus met daarin nog een kubus.
Verbindt nu alles en je kunt het aantal "omhullende" kubussen gewoon tellen.

Waarom is dat 4D? wat is dus de 4e dimensie in dit verband?

Een hyperkubus bestaat alleen in een ruimte met tenminste 4-dimensies.
Zo is de naam nu eenmaal per definitie vastgelegd.

(een gewone kubus heeft er tenminste 3 nodig.)

[efdee]

@anusthesist
Waar je kruisen zegt, bedoel je snijden.
Twee kruisende lijnen hebben geen snijpunt.
In kubus ABCD.EFGH (met E boven A) kruisen bijv. AC en HD elkaar, nog loodrecht ook,
maar ze snijden elkaar echt niet. Er gaat ook geen vlak door AC en HD.

[Algebruh]

2 kubussen vormen een ‘hypercube’ die 3+1 = 4 dimensionaal is.

Dit is denk ik niet waar.
Je kunt toch ook niet van twee vierkanten een 'hypervierkant'(kubus) maken?

Exact, vandaar dat kubus de incorrecte uitbreiding is van de eerdere voorbeelden rechte en vlak. Als je de anologie van opspannende rechten en vlakken wilt doortrekken is het absoluut noodzakelijk met vectorruimten te werken.

[tempelier]

2 kubussen vormen een ‘hypercube’ die 3+1 = 4 dimensionaal is.

Dit is denk ik niet waar.
Je kunt toch ook niet van twee vierkanten een 'hypervierkant'(kubus) maken?

Exact, vandaar dat kubus de incorrecte uitbreiding is van de eerdere voorbeelden rechte en vlak. Als je de anologie van opspannende rechten en vlakken wilt doortrekken is het absoluut noodzakelijk met vectorruimten te werken.

Ik ben in het bezit van een leerboek van 4-dim meetkunde dat volledig synthetisch is.

PS.
Zal wel niet meer te krijgen zijn het is gedrukt in 1915.

[HansH]

Waarom is dat 4D? wat is dus de 4e dimensie in dit verband?
[/quote]Een hyperkubus bestaat alleen in een ruimte met tenminste 4-dimensies.
Zo is de naam nu eenmaal per definitie vastgelegd.

(een gewone kubus heeft er tenminste 3 nodig.)
[/quote]
ok, maar ik zie 2 kubussen in elkaar met 4 verbindingslijntjes ertussen in een 3D ruimte. Dus ik mis de link met 4D.

[tempelier]

Waarom is dat 4D? wat is dus de 4e dimensie in dit verband?

Een hyperkubus bestaat alleen in een ruimte met tenminste 4-dimensies.
Zo is de naam nu eenmaal per definitie vastgelegd.

(een gewone kubus heeft er tenminste 3 nodig.)
[/quote]
ok, maar ik zie 2 kubussen in elkaar met 4 verbindingslijntjes ertussen in een 3D ruimte. Dus ik mis de link met 4D.
[/quote]
Wat bedoel je met verbindingslijnen?

[HansH]

Wat bedoel je met verbindingslijnen?

de 4 hoekpunten van de eerste kubus worden met 4 lijntjes verbonden met de hoekpunten van de 2e kubus.
Ik snap de redenatie dat je een kubus maakt in 3d door 2 vierkanten in 2d te verbinden met 4 lijntjes in een richting haaks op de 2 dimensies die je al hebt.
Dat idee willen ze blijkbaar doorzetten naar hetzelfde idee van 3d naar 4d door 2 kubussen te verbinden met 4 lijntjes, maar als er naar een hogere dimensie er steeds een dimensie bijneemt (vierkant-->kubus via 4 lijntjes: 2d-->3d) dan zou ik verwachten dat als je van 3d naar 4d de zaak verbind dat je dat dan niet met lijntjes moet doen maar met vlakken
(vierkant-->kubus=2vierkanten via 4 lijntjes: 2d-->3d)
(kubus-->4d kubus=2 3dkubussen via 4 vlakken: 3d-->4d)
dus verbinden met vlakken ipv met lijntjes

[tempelier]

Wat bedoel je met verbindingslijnen?

de 4 hoekpunten van de eerste kubus worden met 4 lijntjes verbonden met de hoekpunten van de 2e kubus.
Ik snap de redenatie dat je een kubus maakt in 3d door 2 vierkanten in 2d te verbinden met 4 lijntjes in een richting haaks op de 2 dimensies die je al hebt.
Dat idee willen ze blijkbaar doorzetten naar hetzelfde idee van 3d naar 4d door 2 kubussen te verbinden met 4 lijntjes, maar als er naar een hogere dimensie er steeds een dimensie bijneemt (vierkant-->kubus via 4 lijntjes: 2d-->3d) dan zou ik verwachten dat als je van 3d naar 4d de zaak verbind dat je dat dan niet met lijntjes moet doen maar met vlakken
(vierkant-->kubus=2vierkanten via 4 lijntjes: 2d-->3d)
(kubus-->4d kubus=2 3dkubussen via 4 vlakken: 3d-->4d)
dus verbinden met vlakken ipv met lijntjes

Tja een kubus heeft wel acht hoekpunten.
Dat lijkt dan toch problemen op te leveren.