Nogmaals de Klok met wijzers.

[tempelier]

Er zijn al eens vragen overgeweest maar ik heb er nog een paar (niet als te moeilijke) bedacht voor de liefhebber:

1.
We hebben een normale klok met seconde wijzer die op t=0 start als alle drie de wijzers op 12 staan.
Natuurlijk staan ze dat om twaalf uur weer,
maar zijn er tussentijds nog standen geweest waarop ze op de zelfde stand stonden?

zo nee; waarom niet?
zo ja, op welke stand(en) was dat?

2.
We laten nu de grote wijzer achteruit draaien. (maar wel met de juiste snelheid)

Wanneer en waar staan de wijzers in de zelfde stand?

3.
Welke snelheid moet de grote wijzer krijgen zodat ze oneindig vaak in de zelfde verschillende standen komen te staan?
Welke oneindigheid is dat dan?

De triviale oplossingen moeten bij 3. worden weggelaten, ook wordt aangenomen dat de klok oneindig lang draait.

PS.
Het variëren van de kleine wijzer is eigenlijk zinloos en dan ook niet toegestaan.

[boertje125]

1 uitgaande van traploos aangedreven wijzers zit in elk uur een stand dat alle drie wijzers in de zelfde stand staan.

2 als de grote uurwijzer en de minuten wijzer elkaar passeren elk uur een keer.

vraag 3 is een taalkundige enigszins vaag bedoel je de drie wijzers in de zelfde stand ?
elke snelheid is goed zolang er maar beweging is als de tijd oneindig is komt de wijzer ook oneindig vaak in die stand

[tempelier]

Ik denk dat je antwoorden niet goed zijn en zeker zijn de onvolledig.

[wnvl1]

x = stand seconden uitgedrukt in omwentelingen
y = stand minuten uitgedrukt in omwentelingen
z = stand uren uitgedrukt in omwentelingen
t = tijd in seconden

n = aantal omwentelingen

n = x = y = z (mod 1)


t/60 = t/(60*60*12) = t/( 60*60*12*12) (mod 1)

[wnvl1]

https://www.wolframalpha.com/input?i=t% ... 28mod+1%29

Wolfram lost dat op deze manier helaas niet op.
Misschien chatgpt, bard of ernie eens proberen.

[wnvl1]

Je kan het misschien eenvoudiger schrijven als

t = t/(60*12) = t/( 60*12*12) (mod 60)
t = t/720 = t/8640 (mod 60)

[tempelier]

Het gemakkelijkste gaat het via de hoeksnelheid maar uitgedrukt in graden per minuut.
Dan wordt 1.) eigenlijk een simpel sommetje lijkt me.

[tempelier]

Je kan het misschien eenvoudiger schrijven als

t = t/(60*12) = t/( 60*12*12) (mod 60)
t = t/720 = t/8640 (mod 60)

Is niet zo'n handige notatie, maar de oplossing is nu toch maar een stapje.

[wnvl1]

Ik kan t vervangen door 8640*u, dan krijg ik

8640u = 12u = u (mod 60)

als vergelijking voor de eerste. Dat ziet er eenvoudiger uit al verandert het niet veel.

[tempelier]

Ik kan t vervangen door 8640*u, dan krijg ik

8640u = 12u = u (mod 60)

als vergelijking voor de eerste. Dat ziet er eenvoudiger uit al verandert het niet veel.

Toch is het een heel eenvoudig sommetje, dat ik al op mijn 13de kreeg voorgeschoteld onder het hoofdstuk ingeklede vergelijkingen het is een wat moeilijke variant van een fietser die een wandelaar moet inhalen.

Ook daar zijn de twee snelheden niet zo belangrijk maar het verschil van de snelheden.

Druk dit verschil uit in graden per minuut (zonder dat moeilijke mod) en dan wordt het ineens heel makkelijk.
Want ze staan op de zelfde plek als hun verschil ????? graden bedraagt.

[wnvl1]

8640u = 12u = u (mod 60)

Je weet dat 12u-u=11u een veelvoud moet zijn van 60.
Dus 11u=k*60, dus u = (60/11)*k.

Je weet dat 8640u-u=8639u een veelvoud moet zijn van 60.
Dus 8639u=l*60, dus u = (60/8639)*l.

En dan zoeken naar overlappingen.
(60/11)*k = (60/8639)*l
k/l = 11/8639 met k en l geheel.

k is 11 en l is 8639 zou dan bvb een oplossing moeten zijn.

u is dan 60 -> t=8640*u=8640*60=518400s

[wnvl1]

Je zoekt toch naar oplossingen met 3 wijzers? Niet met 2 wijzers.

Ik heb het vermoeden dat ik de vraag verkeerd begrepen heb.

[tempelier]

Ik dacht iets eenvoudiger te werken.

1. De grote wijzer loopt 360gr in 60 minuten dat is 6 graden per minuut.
2. De kleine wijzer loopt 1/12 hiervan dus 1/2 graad per minuut.

3. De grote wijzer loopt dus 6-1/2 graden per minuut uit.

Als de grote wijzer een veelvoud van 360 graden is uitgelopen lapt (dat komt uit het autoracen) hij de kleine wijzer.

Uitdelen geeft dan alle lap punten van grote en kleine wijzer.
Nu kan men door invullen vinden of de seconde wijzer dan daar ook staat.

PS.
Behalve het hoekgraad begrip is er eigenlijk geen wiskunde nodig.

[wnvl1]

Ik was met 3 wijzers aan het werken net zoals boertje125 denk ik. Daarom dat boertje125 zei dat er geen oplossingen waren. Om die modulo vergelijkingen op te lossen gebruik je een vorm van Euclides. Dat komt eigenlijk neer op het berekenen van de verschillen zoals jij ook doet.

[tempelier]

Ik was met 3 wijzers aan het werken net zoals boertje125 denk ik. Daarom dat boertje125 zei dat er geen oplossingen waren. Om die modulo vergelijkingen op te lossen gebruik je een vorm van Euclides. Dat komt eigenlijk neer op het berekenen van de verschillen zoals jij ook doet.

Je kunt ook de seconde wijzer een hoeksnelheid geven en dan de truc opnieuw uitvoeren met de grote wijzer en dan kijken of er overlaps zijn. Dat is iets algemener dacht ik.

Ik los die niet op dacht ik ik stel slecht dat het verschil van doorlopen hoek van de wijzers (n maal 360) moet zijn.

PS.
Hij beweerde juist dat er twaalf van die standen waren.