Limiet van ratio van opeenvolgende termen van rij

[PhilipVoets]

Het kenmerk van D'Alembert voor convergentie van reeksen maakt gebruik van:

\(lim_{n -> ∞} [u_{n+1}/u_{n}] = L\)

En kijkt dan naar L <1 of >1 om te bepalen of een reeks convergeert
Maar hoe weet je überhaupt dat

\([u_{n+1}/u_{n}]\)

per se convergeert naar een bepaald getal L? Convergeert de ratio van opeenvolgende termen van een rij, zoals hier, altijd naar een getal L (en zo ja, waarom?)? Waarom geen divergentie?

P.M.: excuses voor de gebrekkige notatie, ben er niet heel handig mee, haha

[wnvl1]

Het is inderdaad niet gezegd dat de verhouding van twee opeenvolgende termen convergeert.
D'Alembert is een voldoende voorwaarde voor convergentie van een reeks, geen nodige voorwaarde.

[PhilipVoets]

En wat nu als de limiet van deze twee opeenvolgende rijtermen niet bestaat? Is dat het "L=1"-scenario?

[wnvl1]

Nee, dat is niet het L=1 scenario. Als de limiet niet bestaat, dan weten we niet of de reeks convergeert. Misschien wel, misschien niet.

1, 0.1, 0.001, 0.0001, 0.000001, ...

Is een voorbeeld van een reeks waarbij de limiet niet bestaat, maar die wel convergeert.

[PhilipVoets]

Misschien is dit wat spraakverwarring hoor, ik ben een leek en misschien is het ook wat naïef om me zonder enige achtergrond met analyse bezig te houden, maar hoe moet ik die L in D'Alembert's kenmerk dan interpreteren en bestaat er altijd een vaste waarde voor L? Want zoals ik het uitleg, is er blijkbaar een bepaald getal L waar de verhouding van twee termen uit een rij

\(U_{n+1}\)

en

\(U_{n}\)

naartoe gaat als de waarde als n maar groot genoeg is/naar oneindig gaat. Dat klinkt toch als een limiet of begrijp ik het verkeerd?
Zijn er dan ook rijen waarvoor geen L te vinden/definiëren is? Lees: rijen waarvoor D'Alembert's kenmerk niet gebruikt kan worden.

[wnvl1]

Als je de reeks \(U_n = 0.5^n\) hebt, dan kan je die limiet mooi uitrekenen.

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{0.5^{n+1}}{0.5^{n}}=0.5$$

L is kleiner dan 1, dus convergentie.


Als je de reeks \(U_n = 2^n\) hebt, dan kan je die limiet mooi uitrekenen.

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2$$

L is groter dan 1, dus divergentie.

Maar het kan ook zijn dat die limiet niet gedefinieerd is, cfr. het voorbeeld in mijn vorige post. Dan weten we niet of het ding convergeert op basis van d'Alembert. Als de limiet bestaat en gelijk is aan 1, dan weten we het ook niet.

In een cursus analyse leer je meestal een hele lijst van convergentiecriteria. Uitdaging is dan om een ander criterium te vinden dat wel toegepast kan worden.

[PhilipVoets]

Ah, dank! Kortom, je kunt stellen dat áls de limiet L gedefinieerd is voor een de genoemde ratio, je een uitspraak kunt doen, maar als de limiet niet gedefinieerd is, dan heb je er "niets" aan. Dus niet iedere rij heeft een "L", maar áls die er is en L =/= 1, dan kun je een uitspraak doen over convergentie of divergentie?

Rest van het bewijs is me wel duidelijk, namelijk dat na herschrijven dat de termen van de ontstane rij altijd kleiner zullen zijn dan de termen van een meetkundige rij met reden <1, waarvan bekend is dat de reeks convergeert en dus bij de ontstane reeks ook convergeert.

[aadkr]

als je de limiet neemt van n naderd tot +oneindig van de absolute waarde van het quotient a(n+1)/a(n) en daar komt +1 uit ,dan kan er geen concluisie getrokken worden over het convergent of divergent zijn van de oneindige reeks. Verder onderzoek naar convergentie is nodig.
In het engels wordt dit ook wel de ratio test genoemd.(in het nederlands: het convergentie kenmerk van d'' Lamenbert

[TD]

Ah, dank! Kortom, je kunt stellen dat áls de limiet L gedefinieerd is voor een de genoemde ratio, je een uitspraak kunt doen, maar als de limiet niet gedefinieerd is, dan heb je er "niets" aan. Dus niet iedere rij heeft een "L", maar áls die er is en L =/= 1, dan kun je een uitspraak doen over convergentie of divergentie?

Juist, de test impliceert helemaal niet dat die limiet bestaat maar zegt enkel: als de verhouding |u_n+1/u_n| convergeert (noem de limiet dan L) dan is de bijhorende reeks convergent indien L < 1 en divergent indien L > 1. Indien L = 1, of als de limiet niet bestaat, dan doet de test geen uitspraak.

[PhilipVoets]

Helder, dat wilde ik horen, haha! Dank! Dan heb ik door hoe het werkt.