Definiëren van goniometrische functies

[Mat '64]

op school krijg je te leren dat de Afgeleide van Sin(X) is Cos(X) en dat de afgeleide daarvan is -Sin(X), als je dat differentieert krijg je -Cos(X) en mocht je dat alweer differentieren dan krijg je weer Sin(X).

ik vraag mij af het bewijs van Sin(X) naar Cos(X) en dan weer zo verder, tot dat je weer Sin(X) krijgt. ik heb van alles opgezocht maar niks gevonden. Wel ben ik van bewust dat je met de Complexe Getallen werkt en dat deze Formule erin voorkomt die je gaat gebruiken.

e^(i[.]x) = Cos(X) + i Sin(X)

weet iemand waar ik de bewijs kan vinden, of is er iemand die het kan defineren in de vorm:

(Sin(X))' = Lim ((Sin(X + h) - Sin(X))/(h))

...............h 0

Alvast bedankt!

[Rogier]

Bedenk dat sin(x) is gedefinieerd als x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Als je dat differentieert zie je het vanzelf.

[Brinx]

Je kunt het ook nog doen met de e-machten die je zelf al aanhaalde:

(e^(ix) + e^(-ix)) / 2 = cos(x)

(e^(ix) - e^(-ix)) / 2i = sin(x)

Als je deze functies differentieert kom je op dezelfde cyclus uit.

[TD]

Bedenk dat sin(x) is gedefinieerd als x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Als je dat differentieert zie je het vanzelf.

Ik denk niet dat je kan spreken van "de" definitie van sin(x) , maar het is wel een mogelijkheid om het te definiëren natuurlijk. Je kan ook denken aan de goniometrische interpretatie (met een hoek, verticale projectie) of als je het naar complexe argumenten uitbreidt, de bovengegeven definitie.

[Kris Hauchecorne]

Je kan ook gewoon e^(ix) afleiden=ie^(ix)=d(cosx)/dx+id(sinx)/dx=icosx-sinx

De reële en imaginaire delen aan elkaar gelijk stellen geeft

d(cosx)/dx=-sinx

d(sinx)/dx=cosx

[Mat '64]

Heren,

Mijn dank is groot voor deze informatie, dit was iets wat ik nodig had om verder te kunnen gaan.

Prettig Weekend!

[TD]

Graag gedaan, zelfde toegewenst