Oplossing complexe vergelijking

[Merlion]

Probeer al een tijdje dit vraagstuk op te lossen, maar zie geen enkele manier om Z of r te elimineren. Tip?

[Xilvo]

\(3r=5z+??i\)
Wat is de laatste term?

[Merlion]

20i

[Xilvo]

Dan krijg je
\(3r=5r \cos \theta +5r i \sin \theta +20 i\)
dus
\(5r i \sin \theta =-20 i\)
en
\(3r=5r \cos \theta\)
Kom je hier verder mee?

[Merlion]

Ik schaam me

[EvilBro]

Zie \(z\) als een vector met lengte \(r\) in het complexe vlak.
Teken, in het complexe vlak, vanuit de oorsprong de vector \(3 r\). Deze ligt volledig op de reële as.
Teken daarna een vector \(5 z\) met aan het einde een vector \(20 i\). Je komt dan op het einde van de \(3 r\) vector uit (dit moet vanwege de gegeven vergelijking).

Met behulp van de getekende driehoek en pythagoras kun je snel zien dat de 'hoogte' van de driehoek \(4 r\) is.
Sinus is overstaande gedeeld door schuine zijde, dus:

\(\sin(\phi) = -\frac{4}{5}\)

[Xilvo]

Met behulp van de getekende driehoek en pythagoras kun je snel zien dat de 'hoogte' van de driehoek \(4 r\) is.
Sinus is overstaande gedeeld door schuine zijde, dus:

\(\sin(\phi) = -\frac{4}{5}\)

\(3r=5r \cos \theta\)
dus
\(\cos \theta=0,6\)

\(\sin \theta=\sqrt{1-0,36}\)
\(\sin \theta=-0,8\) of \(\sin \theta=0,8\)
Als \(r<0\) (wat misschien minder voor de hand ligt maar zeker kan) is \(\sin \theta=0,8\) de oplossing.

[flappelap]

Die r kan natuurlijk nooit negatief zijn; r^2 = x^2 + y^2 e n x en y zijn per definitie reëel.

[Xilvo]

Die r kan natuurlijk nooit negatief zijn; r^2 = x^2 + y^2 e n x en y zijn per definitie reëel.

Waar wordt genoemd, of waaruit volgt, dat \(r^2 = x^2 + y^2\) ?

[flappelap]

Ik mag toch aannemen dat bedoeld wordt dat de vorm van z wordt gegeven in de gebruikelijke poolcoordinaten z=r*e^(i*theta).

[Xilvo]

Ik mag toch aannemen dat bedoeld wordt dat de vorm van z wordt gegeven in de gebruikelijke poolcoordinaten z=r*e^(i*theta).

Dat is wat waarschijnlijk bedoeld werd. Maar wiskundig niet de enige mogelijkheid.
\(r\) kan negatief zijn. Dat leidt niet tot een strijdigheid.

[EvilBro]

Oke... als we dan toch gek willen doen... Nergens staat dat r reëel moet zijn.

\(3 r = 5 z + 20 i\)

\(3 r = 5 (r (\cos(\phi) + i \sin(\phi))) + 20 i\)

\(3 r = 5 r (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) + 20 i\)

\(3 r - 5 r (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) = 20 i\)

\(r (3 - 5 (\cos(\phi) + i \sin(\phi))) = 20 i\)

\(r = \frac{20 i}{3 - 5 (\cos(\phi) + i \sin(\phi))}\)

Aangezien de noemer voor geen enkele phi nul kan zijn, zijn alle waarden voor phi toegestaan. sin(phi) kan dus elke waarde hebben in [-1,1].

Of gaan we ook nog meenemen dat nergens staat dat het hier niet op de complexe sinus gaat...

[flappelap]

Dat is wat waarschijnlijk bedoeld werd. Maar wiskundig niet de enige mogelijkheid.
\(r\) kan negatief zijn. Dat leidt niet tot een strijdigheid.

De r kan ook een element uit de groep van quaternionen zijn. Of theta kan een Grassmangetal zijn zodat e^(i*theta) exact gelijk is aan 1+i*theta. Of wat Evilbro zegt.

Ook mogelijk.

[Xilvo]

Ik schreef ook dat een positieve r meer voor de hand ligt. Dat maakt een negatieve r niet onmogelijk.
Ook niet door het tot in het absurde door te trekken.

[EvilBro]

Welk absurde? Het is immers "wiskundig niet de enige mogelijkheid"...