Hoe kan de Tarnoc turbineketel een COP van 2 halen?

[HansH]

w is de geleverde energie van de ene rij cellen naar de volgende rij en is druk x volumeverandering.

[HansH]

De excel lijkt mij niet correct. Ik snap de idee achter de formule voor w trouwens niet in de excel.

Soms wordt ook \(\gamma\) gebruikt ipv \(\kappa\).

$$pV^\kappa=C$$

Je rekent C uit voor de begintoestand. Dan kan je toch voor elk volume de bijhorende druk uitrekenen. Via de ideale gaswet kan je dan de bijhorende temperatuur T uitrekenen.

wat is C? de temperatuur kun je toch niet anders uitrekenen dan via de geleverde energie en de soortelijke warmte?

[HansH]

De excel lijkt mij niet correct. Ik snap de idee achter de formule voor w trouwens niet in de excel.

Soms wordt ook \(\gamma\) gebruikt ipv \(\kappa\).

$$pV^\kappa=C$$

Je rekent C uit voor de begintoestand. Dan kan je toch voor elk volume de bijhorende druk uitrekenen. Via de ideale gaswet kan je dan de bijhorende temperatuur T uitrekenen.

mischien verhelderend als je een uitgwerkt voorbeeldje post. bv ik start met 1 m3 lucht van 20 grC bij omgevingsdruk en pers die samen tot 0.1m3 zonder energieuitwisseling met de omgeving. wat is de geleverde energie door het samenpersen en wat is de temperatuur en druk na samenpersen?

[wnvl1]

Met C bedoel ik een constante. Je beginvolume is 1m³ en de begindruk is de omgevingsdruk. \(\kappa\) voor lucht kan je opzoeken. Met deze gegevens kan je C berekenen. Eenmaal die C gekend kan je voor elke druk het bijhorende volume berekenen.

De arbeid bereken je via \(\int pdV = \int \frac{C}{V^{\kappa}}dV= \frac{C}{(-\kappa+1)V^{\kappa-1}}\).

[InHogereSferen]

Toch nog 1 poging.

Heb je geprobeerd een carnot diagram te begrijpen. daar zit de basis denk ik waarom je het niet kunt volgen.

Het diagram met het ruitje. Voor zover ik kan begrijpen beschrijft dit het principe van een warmtepomp. En dat principe begrijp ik wel; hogedruk > condenseren > warmte afgeven > lage druk > verdampen > warmte opnemen. Of ik mis iets?

Het komt er op neer dat je lucht uit de omgeving opneemt en die uiteindelijk weer met een lagere temperatuur aan die omgeving teruglevert.
Je stopt er energie in. Die energie wordt in warmt omgezet, daarnaast win je energie uit de omgeving door warmere lucht op te nemen dan je teruggeeft. Dan is het rendement vanzelf groter dan 1.

Ik val in herhaling maar dit begrijp ik dus niet.
Bij een normale warmtepomp begrijp ik het wel. Er wordt 1kW gebruikt om circa 4kW aan warmte uit de lucht te halen. Dit moet dus betekenen dat tijdens het condenseren 4kW aan latente warmte wordt overgedragen terwijl de compressor hier maar gemiddeld 1kW voor nodig heeft. De uitgaande lucht van de buitenunit is dus ook een stuk kouder dan de buitenlucht zelf. Dit is mij helemaal helder.

Maar de Tarnoc is een luchtcompressor die geen gebruik maakt van latente warmte. Er is geen faseovergang.
Als de compressor dus 1kW nodig heeft om te werken, dan kan er (correct me if I'm wrong) er maximaal 1kW aan warmtevermogen ontstaan in de gecomprimeerde lucht. Eerder 0,8kW. De afgekoelde lucht kan dus maximaal 0,8kW aan warmte uit de buitenlucht opnemen. Laat de overige 0,2kW door de gecomprimeerde lucht teruggewonnen worden, dan blijft er 1kW aan elektrische energie nodig om 1kW aan warmte te leveren. In mijn ogen is er dus 1kW nodig om 1kW aan warmte 'rond te pompen'.

Ik zie nog altijd niet voor me waarom er meer dan 1kW aan warmte geleverd kan worden terwijl de compressor maar 1kW aan elektriciteit ontvangt. TENZIJ er tijdens het comprimeren dus méér warmte ontstaat dan dat er zou ontstaan als je de elektriciteit in een 1kW warmte element zou stoppen...

[InHogereSferen]

Tijdens het expanderen wordt de lucht koeler dan de buitenlucht, dit geeft 'ruimte' om warmte uit de buitenlucht te halen. Maar als de afgekoelde lucht maar opgewarmd kan worden tot aan de temperatuur van de buitenlucht van 0°C, hoe komt deze opgenomen warmte dan weer in de binnenlucht van 20°C?

Hoe kan dit zonder latente warmte?

[wnvl1]

Algemene opmerking is dat een warmtepomp zonder faseovergang werkt volgens dezelfde principes als een pomp met faseovergang. Het voordeel van een faseovergang is dat je de warmte op een efficiëntere manier kan transporteren omdat de temperatuur niet zo snel meebeweegt. Als je de ene begrijpt zou de andere ook geen probleem mogen zijn. De thermodynamische diagrammen zijn heel gelijkaardig. Zoals Hansh aangeeft is het handig voor het begrip om te vertrekken van thermodynamische diagrammen, b.v. een temperatuur - entropie diagram en een druk - volume diagram en dan voor elke stap warmte en arbeidoverdracht berekenen en op het einde de som te maken. Dat soort van berekeningen staat voor een warmtepomp in de meeste thermo boeken die op school gebruikt worden. Het is dit soort van plaatjes die wat ontbreken in het topic.

[HansH]

Met C bedoel ik een constante. Je beginvolume is 1m³ en de begindruk is de omgevingsdruk. \(\kappa\) voor lucht kan je opzoeken. Met deze gegevens kan je C berekenen. Eenmaal die C gekend kan je voor elke druk het bijhorende volume berekenen.

De arbeid bereken je via \(\int pdV = \int \frac{C}{V^{\kappa}}dV= \frac{C}{(-\kappa+1)V^{\kappa-1}}\).

ik heb nog wat moeite met \(\kappa\)
ik snap niet dat die met een en dezelfde waarde alle situaties kan beschrijven. Dus daar zit vast nog en stukje theorie onder die ik nog zou moeten bestuderen. maar ik denk dat ik dat simpel kan omzeilen op de volgende manier:

Dit plaatje komt uit een oud boek van mij waar alles in staat over warmte, maar vraagt nog verdere studie. maar met dit plaatje kan ik denk ik al alles doen wat nodig is. het PV diagram met gebruik maken van isotherme compressie of expansie betekent simpel dat PV=constant. dat zijn dus hyperbolen. Vervolgens geeft het PT diagram aan hoe de druk verandert bij vast volume als functie van de temperatuur. dat zijn zoals verwacht rechte lijnen.
conclusie is dat je elk proces kun opsplitsen in 2 processen serieel na elkaar die allebei simpel te berekenen zijn:
1) isotherme expansie of compressie
2) corrigeren van de toegevoerde of afgevoerde energie via wijzigen van de temperatuur bij contant volume via de warmtecapaciteit bij constant volume.

een adiabatische compressie gaat dan in 2stappen:
1) isotherme compressie van V1P1 naar V2P2
2) berekenen van de bijbehorende energie en die via de warmtecapaciteit omzetten naar een temperatuurverandering en resulterende drukverandering. door in gedachten die energie apart toe te voeren of af te voeren.

[HansH]

bijgaande Excel sheet gebruikt dit principe.

carnot2

(110.97 KiB) 40 keer gedownload

ik heb ook even gekeken naar het effect van stapgrootte.
de eerste tab rekent met 0.99 x vorige volume. de 2e tab rekent met 0.9 x vorige volume.
P-V diagram levert dan vrijwel hetzelfde op, maar de temperatuur geeft een klein foutje omdat je bij elke delta-T berekening de vorige temperatuur gebruikt en daarmee de vorige druk. die druk wordt echter hoger omdat de temperatuur oploopt dus eigenlijk moet je de loop iteratief doen. maar hoe kleiner de stapjes, hoe minder fout je maakt.

[HansH]

volgende stap is dan om een complete loop te maken via energie afgeven in gecomprimeerde vorm en dan expanderen en na afkoelen energie opnemen uit de omgeving en dan weer comprimeren. dn kun je per complete loop de benodigde energie voor compressie berekenen en COP waarde.

[wnvl1]

Je kan chatgpt altijd vragen om de formule voor de adiabatische toestandsverandering af te leiden, maar die afleiding zou normaal gezien toch ook in jouw thermo boek moeten staan.

------------------------------------------------------------------------

Bij een adiabatische toestandsverandering is er geen warmte-uitwisseling met de omgeving (\( Q = 0 \)). Dit betekent dat de verandering in interne energie alleen afhangt van de arbeid die door het gas wordt verricht of eraan wordt verricht.

De relatie tussen druk (\( P \)), volume (\( V \)) en de adiabatische exponent (\( \kappa \) of \( \gamma \)) wordt gegeven door de **Poisson-vergelijking**:

\[
PV^\kappa = \text{constant}
\]

waarbij:
- \( P \) de druk is,
- \( V \) het volume is,
- \( \kappa = \frac{C_p}{C_v} \) de adiabatische index is, de verhouding van de soortelijke warmten bij constante druk en volume.

### Afleiding van de wet \( PV^\kappa = \text{constant} \)

1. **Eerste wet van de thermodynamica** voor een adiabatisch proces (\( Q = 0 \)):

\[
dU = \delta W
\]

Voor een ideaal gas geldt:

\[
dU = n C_v dT
\]

en de arbeid verricht door het gas:

\[
\delta W = - P dV
\]

Dus:

\[
n C_v dT = - P dV
\]

2. **Gebruik van de ideale gaswet** (\( PV = nRT \)):

\[
dT = \frac{d(PV)}{nR}
\]

Dit invullen in de energiebalans:

\[
n C_v \frac{d(PV)}{nR} = - P dV
\]

\[
C_v \frac{d(PV)}{R} = - P dV
\]

3. **Toepassing van de differentiële vorm van de gaswet** (\( d(PV) = PdV + VdP \)):

\[
C_v \frac{P dV + V dP}{R} = - P dV
\]

4. **Herschikken**:

\[
C_v \frac{V dP + P dV}{R} = - P dV
\]

\[
C_v \frac{V dP}{R} + C_v \frac{P dV}{R} = - P dV
\]

\[
C_v \frac{V dP}{R} = - P dV \left(1 + \frac{C_v}{R} \right)
\]

Omdat \( C_p - C_v = R \), is:

\[
\frac{C_v}{R} = \frac{C_v}{C_p - C_v} = \frac{1}{\kappa - 1}
\]

Dus:

\[
C_v \frac{V dP}{R} = - P dV \left(1 + \frac{1}{\kappa - 1} \right)
\]

\[
C_v \frac{V dP}{R} = - P dV \left(\frac{\kappa}{\kappa - 1}\right)
\]

\[
\frac{V dP}{R} = - P dV \frac{\kappa}{(\kappa - 1) C_v}
\]

Omdat \( R = C_p - C_v = (\kappa - 1)C_v \):

\[
\frac{V dP}{(\kappa - 1) C_v} = - P dV \frac{\kappa}{(\kappa - 1) C_v}
\]

\[
V dP + \kappa P dV = 0
\]

5. **Integreren**:

\[
\int \frac{dP}{P} + \kappa \int \frac{dV}{V} = 0
\]

\[
\ln P + \kappa \ln V = \text{constante}
\]

\[
\ln (PV^\kappa) = \text{constante}
\]

\[
PV^\kappa = \text{constante}
\]

Dit is de bekende wet van Poisson, die de relatie tussen druk en volume bij een adiabatische toestandsverandering beschrijft.

[wnvl1]

de eerste tab rekent met 0.99 x vorige volume. de 2e tab rekent met 0.9 x vorige volume.
P-V diagram levert dan vrijwel hetzelfde op, maar de temperatuur geeft een klein foutje omdat je bij elke delta-T berekening de vorige temperatuur gebruikt en daarmee de vorige druk. die druk wordt echter hoger omdat de temperatuur oploopt dus eigenlijk moet je de loop iteratief doen. maar hoe kleiner de stapjes, hoe minder fout je maakt.

Op zich lukt dat allemaal ook wel via die kleine stapjes, maar dat is niet handig.

[HansH]

wat is?:
-n
-U
-waarom mag je Cv gebruiken als het volume verandert

[HansH]

Op zich lukt dat allemaal ook wel via die kleine stapjes, maar dat is niet handig.

voor mensen die vanaf de basis wat inzicht wllen hebben (zoals de topic starter denk ik) lijkt het me juist erg handig want je ziet precies wat er gebeurt zonder in de diepte te hoeven duiken.

[wnvl1]

wat is?:
-n
-U
-waarom mag je Cv gebruiken als het volume verandert

n is het aantal mol.
U is de inwendige energie.

Inwendige energie U correspondeert met warmte die toegevoerd wordt bij constant volume.
Enthalpie H correspondeert met warmte die toegevoerd wordt bij constant volume.

Daarmee de formule CvT voor U en CpT voor H op voorwaarde dat de warmte capaciteiten constant zijn.